সৃজনশীলঃ ‘একটি চতুর্ভুজের চারটি…’ বরিশাল বোর্ড ২০২৪ – স্থানাঙ্ক জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $PQRS$ চতুর্ভুজের শীর্ষ চারটি $P(5,3),Q(-4,2),R(-2,-1)$ ও $S(3,k)$। বিন্দুগুলো ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে নিয়ে $PQRS$ চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল

$=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccccc}5& -4& -2& 3& 5\\ 3& 2& -1& k& 3\end{array}\right|$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}\{10+4-2k+9-(-12-4-3+5k\left)\right\}$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}\{23-2k-(-19+5k\left)\right\}$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}(23-2k+19-5k)$ বর্গ একক $=\frac{1}{2}(42-7k)$ বর্গ একক

আবার, $△\mathrm{PQS}$ এর ক্ষেত্রফল,

$=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}5& -4& 3& 5\\ 3& 2& k& 3\end{array}\right|$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}\{10-4k+9-(-12+6+5k\left)\right\}$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}\{19-4k-(-6+5k\left)\right\}$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}(19-4k+6-5k)$ বর্গ একক $=\frac{1}{2}(25-9k)$ বর্গ একক

শর্তমতে, $\frac{42-7k}{2}=\frac{56}{43}\times \frac{25-9k}{2}$

বা, $\frac{42-7k}{2}=\frac{1400-504k}{86}$

বা, $3612-602k=2800-1008k$

বা, $1008k-602k=2800-3612$

বা, $406k=-812$

বা, $k=\frac{-812}{406}$

$\therefore k=-2$

নির্ণেয় মান: $k=-2$.

দেওয়া আছে,

$P$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $P(5,3)$

$Q$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $Q(-4,2)$

$A$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $A(x,y)$

এখানে, $A(x,y)$ বিন্দু হতে $P(5,3)$ বিন্দুর দূরত্ব,

$AP=\sqrt{(x-5{)}^2+(y-3{)}^2}$

এবং $A(x,y)$ বিন্দু হতে $Q(-4,2)$ বিন্দুর দূরত্ব,

$AQ=\sqrt{(x+4{)}^2+(y-2{)}^2}$

$A(x,y)$ বিন্দুটি $P$ ও $Q$ বিন্দু থেকে সমদূরবর্তী হওয়ায় $AP=AQ$

$\therefore \sqrt{(x-5{)}^2+(y-3{)}^2}=\sqrt{(x+4{)}^2+(y-2{)}^2}$

বা, $x^2-10x+25+y^2-6y+9=x^2+8x+16+y^2-4y+4$ [বর্গ করে]

বা, $-10x-6y+34=8x-4y+20$

বা, $-10x-8x-6y+4y+34-20=0$

বা, $-18x-2y+14=0$

বা, $-2(9x+y-7)=0$

$\therefore 9x+y-7=0$. (প্রমাণিত)