সৃজনশীলঃ ‘একটি চতুর্ভুজের চারটি…’ ঢাকা বোর্ড ২০২৫ – স্থানাঙ্ক জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

এখানে, চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে $A(0,-1)$, $B(-2,3),C(6,7)$ এবং $D(8,3)$

বিন্দুসমূহকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে নিয়ে চতুর্ভুজক্ষেত্র ABCD এর ক্ষেত্রফল

$=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccccc}0& 8& 6& -2& 0\\ -1& 3& 7& 3& -1\end{array}\right|$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}\left\{\right(0+56+18+2)-(-8+18-14+0\left)\right\}$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}(76+4)$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}\times 80$ বর্গ একক

$=40$ বর্গ একক

আবার ত্রিভুজক্ষেত্র ABC এর ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}0& 6& -2& 0\\ -1& 7& 3& -1\end{array}\right|$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}\left\{\right(0+18+2)-(-6-14+0\left)\right\}$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}(20+20)$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}\times 40$ বর্গ একক $=20$ বর্গ একক

$\therefore$ চতুর্ভূজ ABCD এর ক্ষেত্রফল $=40$ বর্গ একক

$=2\times 20$ বর্গ একক

$=2\times △ABC$ এর ক্ষেত্রফল

অতএব, চতুর্ভুজ ABCD এর ক্ষেত্রফল $△ABC$ এর ক্ষেত্রফলের ত্রিগুণ। (প্রমাণিত)

এখানে, চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দু $A(0,-1),B(-2,3),C(6,7)$ এবং $D(8,3)$

$\therefore \mathrm{BC}$ রেখার সমীকরণ, $\frac{y-3}{x+2}=\frac{3-7}{-2-6}$

বা, $\frac{y-3}{x+2}=\frac{-4}{-8}$

বা, $\frac{y-3}{x+2}=\frac{1}{2}$

বা, $x+2=2y-6$

বা, $x-2y=-2-6$

$\therefore x-2y=-8$

রেখাটি $y$ -অক্ষকে P বিন্দুতে ছেদ করলে, P বিন্দুর ভূজ শূন্য।

অর্থাৎ, $x=0$

$\therefore 0-2y=-8$

বা, $y=\frac{-8}{-2}=4$

$\therefore y=4$

$\therefore P$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(0,4)$

AD রেখার সমীকরণ, $\frac{y-(-1)}{x-0}=\frac{-1-3}{0-8}$

বা, $\frac{y+1}{x}=\frac{-4}{-8}$

বা, $\frac{y+1}{x}=\frac{1}{2}$

বা, $x=2y+2$

বা, $x-2y=2$

রেখাটি $x$-অক্ষকে $Q$ বিন্দুতে ছেদ করলে $Q$ বিন্দুর কোটি শূন্য। অর্থাৎ, $y=0$

$\therefore x-2\cdot 0=2$

বা, $x=2$

$\therefore Q$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $\left(2,0\right)$

$\therefore \mathrm{PQ}$ রেখার ঢাল $=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{0-4}{2-0}=\frac{-4}{2}=-2$

নির্ণেয় PQ রেখার ঢাল $-2$ .