সৃজনশীলঃ ‘A(4,9),B(−4,12),C(−5,−3) এবং D(k,−2)…’ ঢাকা বোর্ড ২০২৬ – স্থানাঙ্ক জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

$\mathrm{ABC}$ ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষবিন্দু $A(4,9),B(-4,12)$ এবং $C(-5,-3)$।

xy সমতলে বিন্দু তিনটি স্থাপন করে,

চিত্র হতে দেখা যায় যে, $\mathrm{ABC}$ ত্রিভুজটি $y$-অক্ষের সাথে $\mathrm{APQ}$ ত্রিভুজ উৎপন্ন করে।

ধরি, $\mathrm{AB}$ রেখা $y$-অক্ষকে $P$ বিন্দুতে ছেদ করে।
এখন, $\mathrm{AB}$ রেখার সমীকরণ,
$\frac{y-9}{x-4}=\frac{9-12}{4+4}$
বা, $\frac{y-9}{x-4}=\frac{-3}{8}$
বা, $8y-72=-3x+12$
বা, $3x+8y=12+72$
$\therefore 3x+8y=84$

রেখাটি $y$-অক্ষকে $P$ বিন্দুতে ছেদ করলে $P$ বিন্দুর ভুজ শূন্য। অর্থাৎ, $x=0$
$\therefore 3\times 0+8y=84$
বা, $8y=84$
$\therefore y=\frac{84}{8}=\frac{21}{2}$
$\therefore P$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(0,\frac{21}{2})$।

আবার, ধরি, $\mathrm{AC}$ রেখা $y$-অক্ষকে $Q$ বিন্দুতে ছেদ করে।
এখন, $\mathrm{AC}$ রেখার সমীকরণ,
$\frac{y-9}{x-4}=\frac{9+3}{4+5}$
বা, $\frac{y-9}{x-4}=\frac{4}{3}$
বা, $4x-16=3y-27$
বা, $4x-3y=-27+16$
$\therefore 4x-3y=-11$

রেখাটি $y$-অক্ষকে $Q$ বিন্দুতে ছেদ করলে $Q$ বিন্দুর ভুজ শূন্য। অর্থাৎ, $x=0$
$\therefore 4\times 0-3y=-11$
বা, $3y=11$
$\therefore y=\frac{11}{3}$
$\therefore Q$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(0,\frac{11}{3})$।

এখন $y$-অক্ষের সাথে $A(4,9),P(0,\frac{21}{2})$ এবং $Q(0,\frac{11}{3})$ বিন্দুগুলি দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
$=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}4& 0& 0& 4\\ 9& \frac{21}{2}& \frac{11}{3}& 9\end{array}\right|$ বর্গ একক
$=\frac{1}{2}(4\times \frac{21}{2}+0+0-0-\frac{11}{3}\times 4)$ বর্গ একক
$=\frac{1}{2}(42-\frac{44}{3})$ বর্গ একক $=\frac{1}{2}\left(\frac{126-44}{3}\right)$ বর্গ একক
$=\frac{1}{2}\times \frac{82}{3}$ বর্গ একক $=\frac{41}{3}$ বর্গ একক

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল $\frac{41}{3}$ বর্গ একক।

দেওয়া আছে, $\mathrm{ABCD}$ চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দু $A(4,9),B(-4,12),C(-5,-3)$ এবং $(k,-2)$।

এখন, $A(4,9),B(-4,12)$ এবং $C(-5,-3)$ বিন্দুসমূহকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে নিয়ে ত্রিভুজ $\mathrm{ABC}$ এর ক্ষেত্রফল
$=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}4& -4& -5& 4\\ 9& 12& -3& 9\end{array}\right|$ বর্গ একক
$=\frac{1}{2}(48+12-45+36+60+12)$ বর্গ একক
$=\frac{1}{2}\times 123$ বর্গ একক $=\frac{123}{2}$ বর্গ একক

আবার, $A(4,9),B(-4,12),C(-5,-3)$ এবং $D(k,-2)$ বিন্দুসমূহকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে নিয়ে $\mathrm{ABCD}$ চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল
$=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccccc}4& -4& -5& k& 4\\ 9& 12& -3& -2& 9\end{array}\right|$ বর্গ একক
$=\frac{1}{2}(48+12+10+9k+36+60+3k+8)$ বর্গ একক
$=\frac{1}{2}(174+12k)$ বর্গ একক

প্রশ্নমতে, ত্রিভুজের $\mathrm{ABC}$ এর ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}\times$ চতুর্ভুজ $\mathrm{ABCD}$ এর ক্ষেত্রফল।
$\therefore \frac{123}{2}=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}(174+12k)$
বা, $246=174+12k$
বা, $12k=246-174$
বা, $k=\frac{72}{12}=6$
$\therefore k=6$

নির্ণেয় মান : $k=6$।