সৃজনশীলঃ ‘P(7,5),Q(−4,3),R(6,−2) এবং S(−8,−5)…’ আইডিয়াল স্কুল অ্যান্ড কলেজ ২০২৬ – স্থানাঙ্ক জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

এখানে, $P(7,5),Q(-4,3),R(6,-2)$ এবং $S(-8,-5)$ চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দু।
বিন্দুগুলোকে xy সমতলে স্থাপন করি।

বিন্দুগুলোকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে নিয়ে PQSR চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল 

$=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccccc}7& -4& -8& 6& 7\\ 5& 3& -5& -2& 5\end{array}\right|$ বর্গ একক
$=\frac{1}{2}\left\{\right(21+20+16+30)-(-20-24-30-14\left)\right\}$ বর্গ একক
$=\frac{1}{2}(87+88)=\frac{175}{2}$ বর্গ একক

ধরি, চতুর্ভুজটির সমান ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য = a একক
∴ বর্গের ক্ষেত্রফল = $a^2$ বর্গ একক
প্রশ্নমতে, বর্গের ক্ষেত্রফল = PQSR চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল
বা, $a^2=\frac{175}{2}$
বা, $a=\frac{\sqrt{175}}{\sqrt{2}}$
∴ বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য $=\sqrt{2}a$ একক $=\sqrt{2}\times \frac{\sqrt{175}}{\sqrt{2}}$ একক

$=\sqrt{175}$ একক $=5\sqrt{7}$ একক

নির্ণেয় বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য $5\sqrt{7}$ একক।

এখানে, $P(7,5),Q(-4,3),R(6,-2)$ এবং $S(-8,-5)$ চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষ বিন্দু।

এখানে, SR বাহুর সমীকরণ, $\frac{y-y_1}{y_1-y_2}=\frac{x-x_1}{x_1-x_2}$

বা, $\frac{y+5}{-5+2}=\frac{x+8}{-8-6}$

বা, $\frac{y+5}{-3}=\frac{x+8}{-14}$

বা, $-14y-70=-3x-24$

বা, $3x-14y-70+24=0$

$\therefore 3x-14y-46=0$

$SR$ রেখাটি $y$ অক্ষকে $E$ বিন্দুতে ছেদ করে $1y$ অক্ষে ভুজ $x=0$

অর্থাৎ, $3\times 0-14y-46=0$

বা, $14y=-46$

বা, $y=-\frac{46}{14}$

$\therefore y=-\frac{23}{7}$

$\therefore E$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(0,-\frac{23}{7})$

আবার, PR রেখার সমীকরণ, $\frac{y-y_1}{y_1-y_2}=\frac{x-x_1}{x_1-x_2}$

বা, $\frac{y-5}{5+2}=\frac{x-7}{7-6}$

বা, $\frac{y-5}{7}=\frac{x-7}{1}$

বা, $y-5=7x-49$

বা, $7x-y-49+5=0$

$\therefore 7x-y-44=0$

PR রেখাটি $x$ অক্ষকে F বিন্দুতে ছেদ করে । $x$ অক্ষে কোটি $y=0$

অর্থাৎ, $7x-0-44=0$

বা, $7x=44$

$\therefore x=\frac{44}{7}$

$\therefore F$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(\frac{44}{7},0)$

এখানে, $O(0,0),E(0,-\frac{23}{7}),R(6,-2),F(\frac{44}{7},0)$ বিন্দুগুলো চতুর্থ চতুর্ভাগে OERF চতুর্ভুজ গঠন করে।

OERF চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল =$\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccccc}0& 0& 6& \frac{44}{7}& 0\\ 0& -\frac{23}{7}& -2& 0& 0\end{array}\right|$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}\left\{\right(-0-0+0+0)-(0-\frac{138}{7}-\frac{88}{7}-0)\}$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}(\frac{138}{7}+\frac{88}{7})$ বর্গ একক $=\frac{1}{2}\times \frac{138+88}{7}$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}\times \frac{226}{7}$ বর্গ একক $=\frac{113}{7}$ বর্গ একক

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল $\frac{113}{7}$ বর্গ একক।