সৃজনশীলঃ ‘(7x−3)−1+(7x−3)−2+(7x−3)−3+…এবং P=(1+Y2)8…’ ২০২৬ – স্থানাঙ্ক জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

প্রদত্ত ধারা : $(7x-3{)}^{-1}+(7x-3{)}^{-2}+(7x-3{)}^{-3}+$$......$

$=\frac{1}{7x-3}+\frac{1}{(7x-3{)}^2}+\frac{1}{(7x-3{)}^3}+\dots \dots \dots$

এখানে, ধারাটির ১ম পদ, $a=\frac{1}{7x-3}$
এবং সাধারণ অনুপাত, r= $\frac{\frac{1}{(7x-3{)}^2}}{\frac{1}{7x-3}}$ 

$\begin{array}{cc}& =\frac{1}{(7x-3{)}^2}\times (7x-3)\\ & =\frac{1}{7x-3}\end{array}$ 

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি|r|<1 হয়।
অর্থাৎ, - 1 < r < 1
বা, $-1<\frac{1}{7x-3}<1$ 

এখন, $-1<\frac{1}{7x-3}$
বা,,$-1>7x-3$ [বিপরীতকরণ করে]
বা, $7x-3+3<-1$
বা, $7x-3+3<-1+3$
বা, $7x<2$ 

আবার, $\frac{1}{7x-3}<1$
বা, $7x-3>1$
বা, $7x>1+3$
বা, $7x>4$

$\therefore x>\frac{4}{7}$ 

$\therefore x<\frac{2}{7}$ 

$\therefore x<\frac{2}{7}$ অথবা $x>\frac{4}{7}$ শর্ত আরোপ করলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে। 

∴ অসীমতক সমষ্টি, $S_{\infty }=\frac{a}{1-r}=\frac{\frac{1}{7x-3}}{1-\frac{1}{7x-3}}$ 

$\begin{array}{cc}& =\frac{\frac{1}{7x-3}}{\frac{7x-3-1}{7x-3}}=\frac{\frac{1}{7x-3}}{\frac{7x-4}{7x-3}}\\ & =\frac{1}{7x-3}\times \frac{7x-3}{7x-4}=\frac{1}{7x-4}\end{array}$ 

নির্ণেয় শর্ত : $x<\frac{2}{7}$ অথবা $x>\frac{4}{7}$ এবং সমষ্টি $\frac{1}{7x-4}$ ।

[বি.দ্র.: A ও x এর পরিবর্তে যথাক্রমে P ও y হবে]

এখন, $(2-x)A=(2-x){(1+\frac{x}{2})}_3^8$

$\begin{array}{cc}& =(2-x)(1+4x+7x^2+7x^3+\dots .)\\ & =(2+8x+14x^2+14x^3+\dots .)+(-x-4x^2-7x^3-7x^4-\dots ..)\\ & =2+7x+10x^2+7x^3+\dots \dots \dots \end{array}$

ধরি, $1+\frac{x}{2}=1.05$
বা, $\frac{x}{2}=1.05-1=0.05$ বা, $x=0.1$
$x=0.1$ বসিয়ে পাই,

$(2-0.1){(1+\frac{0.1}{2})}^8=2+7\times 0.1+10(0.1{)}^2+7(0.1{)}^3+\dots$

বা, $1.9\times (1.05{)}^8=2+0.7+0.1+0.007+\dots .$.

$\therefore 1.9\times (1.05{)}^8=2.807$

$\therefore (2-x)A$ এর বিস্তৃতি : $2+7x+10x^2+7x^3+\dots$.
এবং $1.9\times (1.05{)}^8$ এর মান 2.807.