সৃজনশীলঃ ‘P(4,5),Q(−4,−6),R(5,–3),S(−5,4) ও E(3,k)…’ ময়মনসিংহ গার্লস ক্যাডেট কলেজ ২০২৬ – স্থানাঙ্ক জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $P(4,5)$

$Q(-4,-6),R(5,-3),S(-5,4),E(3,k)$

বিন্দুগুলো দ্বারা গঠিত $QRES$ চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল

$=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccccc}-4& 5& 3& -5& -4\\ -6& -3& k& 4& -6\end{array}\right|$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}[12+5k+12+30-(-30-9-5k-16\left)\right]$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}(12+5k+12+30+30+9+5k+16)$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}(10k+109)$ বর্গ একক

এখন, $△\mathrm{PQR}$ এর ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cccc}4& -4& 5& 4\\ 5& -6& -3& 5\end{array}\right|$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}\{-24+12+25-(-20-30-12\left)\right\}$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}(-24+12+25+20+30+12)$ বর্গ একক

$=\frac{75}{2}$ বর্গ একক

শর্তমতে, QRES চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল $=2\times \Delta \mathrm{PQR}$ এর ক্ষেত্রফল

বা, $\frac{1}{2}(10k+109)=2\times \frac{75}{2}$

বা, $\frac{1}{2}(10k+109)=75$

বা, $10k+109=150$

বা, $10k=150-109=41$

$\therefore k=\frac{41}{10}$

নির্ণেয় মান : $k=\frac{41}{10}$

দেওয়া আছে, $P(4,5),Q(-4,-6),R(5,-3)S(-5,4)$

এখানে, $PS$ রেখার সমীকরণ, $\frac{y-5}{5-4}=\frac{x-4}{4-(-5)}$

বা, $\frac{y-5}{1}=\frac{x-4}{9}$

বা, $9y-45=x-4$

বা, $x-9y-4+45=0$

$\therefore x-9y+41=0$

ধরি, PS রেখা Y-অক্ষকে A বিন্দুতে ছেদ করে।

A বিন্দুর ক্ষেত্রে, $x=0$

অর্থাৎ, $0-9y+41=0$

বা, $9y=41$

$\therefore y=\frac{41}{9}$

∴ A বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(0,\frac{41}{9})$

আবার, $PR$ রেখার সমীকরণ, $\frac{y-5}{5-(-3)}=\frac{x-4}{4-5}$

বা, $\frac{y-5}{8}=\frac{x-4}{-1}$

বা, $-y+5=8x-32$

বা, $8x+y-32-5=0$

$\therefore 8x+y-37=0$

ধরি, $PR$ রেখা $X$-অক্ষকে $B$ বিন্দুতে ছেদ করে।

$B$ বিন্দুর ক্ষেত্রে, $y=0$

অর্থাৎ, $8x+0-37=0$

বা, $8x=37$

$\therefore x=\frac{37}{8}$

$\therefore B$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(\frac{37}{8},0)$

$\therefore PRQS$ চতুর্ভুজের প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত

$AOBP$ অংশের ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccccc}0& 0& \frac{37}{8}& 4& 0\\ \frac{41}{9}& 0& 0& 5& \frac{41}{9}\end{array}\right|$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}\{0+0+\frac{37}{8}\times 5+4\times \frac{41}{9}-(0+0+0+0\left)\right\}$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}(\frac{185}{8}+\frac{164}{9})$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}\times \frac{1665+1312}{72}$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}\times \frac{2977}{72}$ বর্গ একক

$=\frac{2977}{144}$ বর্গ একক

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল $\frac{2977}{144}$ বর্গ একক।