সৃজনশীলঃ ‘(i) a2−bcp=b2−caq=c2−abr≠0(ii) Q(y)=y2y2−49…’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৫ – বীজগাণিতিক রাশি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

ধরি, $\frac{a^2-bc}{p}=\frac{b^2-ca}{q}=\frac{c^2-ab}{r}=k$

$\therefore \frac{a^2-bc}{p}=k$

বা, $a^2-bc=pk\dots$ (i)

$\frac{b^2-ca}{q}=k$

বা, $b^2-ca=qk\dots$ (ii)

$\frac{c^2-ab}{r}=k$

বা, $c^2-ab=rk$

সমীকরণ (i), (ii) ও (iii) নং যোগ করে পাই,

$a^2-bc+b^2-ca+c^2-ab=pk+qk+rk$

বা, $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=k(p+q+r)$ ............ (iv)

আবার, (i) নং সমীকরণকে a দ্বারা, (ii) নং সমীকরণকে b দ্বারা এবং (iii) নং সমীকরণকে c দ্বারা গুণ করে যোগ করে পাই,

$a^3-abc=pak$

$b^3-abc=qbk$

$c^3-abc=rck$

__________________________

$a^3+b^3+c^3-3abc=(pa+qb+rc)k$

বা, $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=(pa+qb+rc)k$

বা, $(a+b+c)\cdot k(p+q+r)=(\mathrm{pa}+\mathrm{qb}+\mathrm{rc})k[$ (iv) নং হতে]

বা, $(a+b+c)(p+q+r)=pa+qb+rc$ উভয়পক্ষকে $k$ দ্বারা ভাগ করে]

$\therefore (a+b+c)(p+q+r)=\mathrm{pa}+\mathrm{qb}+\mathrm{rc}$. (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $Q\left(y\right)=\frac{y^2}{y^2-49}$

$=\frac{(y^2-49)+49}{y^2-49}$

$=\frac{y^2-49}{y^2-49}+\frac{49}{y^2-49}$

$=1+\frac{49}{y^2-7^2}=1+\frac{49}{(y+7)(y-7)}$

মনে করি, $\frac{49}{(y+7)(y-7)}\equiv \frac{A}{y+7}+\frac{B}{y-7}$ .......... (1)

(1)নং সমীকরণকে $(y+7)(y-7)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$49\equiv A(y-7)+B(y+7)$ ........... (2)

(2)নং সমীকরণে, $y=-7,7$ বসিয়ে পাই,

$49=A(-7-7)+B(-7+7)$

বা, $49=-14A+0$

বা, $A=\frac{49}{-14}$

$\therefore A=-\frac{7}{2}$

আবার, $49=y(7-7)+B(7+7)$

বা, $49=0+14B$

বা, $B=\frac{49}{14}$

$\therefore B=\frac{7}{2}$

A ও B এর মান (1) নং বসিয়ে পাই,

$\frac{49}{(y+7)(y-7)}\equiv \frac{\frac{-7}{2}}{(y+7)}+\frac{\frac{7}{2}}{(y-7)}$

$\equiv -\frac{7}{2(y+7)}+\frac{7}{2(y-7)}$

$\therefore Q\left(y\right)=1-\frac{7}{2(y+7)}+\frac{7}{2(y-7)}$, যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।