সৃজনশীলঃ ‘(i) F(x)=(x+1)(x2+2)(ii) P(x)=x3−6×2+5x−3…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২৫ – বীজগাণিতিক রাশি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $P\left(x\right)=x^3-6x^2+5x-3$

$P\left(x\right)$ কে $(2x+a)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে $P(-\frac{a}{2})$.

$\therefore P(-\frac{a}{2})={(-\frac{a}{2})}^3-6\times {(-\frac{a}{2})}^2+5\times (-\frac{a}{2})-3$

$=-\frac{a^3}{8}-\frac{6a^2}{4}-\frac{5a}{2}-3=\frac{-a^3-12a^2-20a-24}{8}$

$=-\frac{1}{8}(a^3+12a^2+20a+24)$

আবার, $P\left(x\right)$ কে $(2x+b)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে $P(-\frac{b}{2})$

$\therefore P(-\frac{b}{2})={(-\frac{b}{2})}^3-6\times {(-\frac{b}{2})}^2+5\times (-\frac{b}{2})-3$

$=-\frac{b^3}{8}-\frac{6b^2}{4}-\frac{5b}{2}-3$

$=\frac{-b^3-12b^2-20b-24}{8}$

$=\frac{-1}{8}(b^3+12b^2+20b+24)$

শর্তমতে, $-\frac{1}{8}(a^3+12a^2+20a+24)=-\frac{1}{8}(b^3+12b^2+20b+24)$

বা, $a^3+12a^2+20a+24=b^3+12b^2+20b+24$

বা, $a^3-b^3+12a^2-12b^2+20a-20b+24-24=0$

বা, $(a-b)(a^2+ab+b^2)+12(a^2-b^2)+20(a-b)=0$

বা, $(a-b)(a^2+ab+b^2)+12(a+b)(a-b)+20(a-b)=0$

বা, $(a-b)(a^2+ab+b^2+12a+12b+20)=0$

বা, $a^2+ab+b^2+12a+12b+20=0[\because a\ne b$ সুতরাং, $a-b\ne 0]$

$\therefore a^2+ab+b^2+12a+12b+20=0$. (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $F\left(x\right)=(x+1)(x^2+2)$

$\therefore \frac{x-2}{F\left(x\right)}=\frac{x-2}{(x+1)(x^2+2)}$

মনে করি, $\frac{x-2}{(x+1)(x^2+2)}=\frac{A}{x+1}+\frac{\mathrm{Bx}+C}{x^2+2}$ ......... (1)

(1)নং সমীকরণের উভয়পক্ষকে $(x+1)(x^2+2)$ দ্বারা গুণ করে পার,

$x-2\equiv A(x^2+2)+(Bx+C)(x+1)$ ......... (2)

বা, $x-2\equiv A{x}^2+2A+B{x}^2+Bx+Cx+C$

বা, $x-2\equiv (A+B)x^2+(B+C)x+2A+C$ ......... (3)

(2)নং সমীকরণে $x=-1$ বসিয়ে পাই,

$-1-2=A\left\{\right(-1{)}^2+2\}+\left\{B\right(-1)+C\}(-1+1)$

বা, $-3=A(1+2)+0$

বা, $-3=3A$

$\therefore A=-1$

(3)নং সমীকরণ হতে $x^2$ ও $x$ এর সহগ সমীকৃত করে পাই,

$A+B=0$

বা, $-1+B=0$

$\therefore B=1$

এবং $B+C=1$

বা, $1+C=1$

বা, $C=1-1$.

$\therefore \dot{C}=0$

A, B ও C এর মান (1)নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$\frac{x-2}{(x+1)(x^2+2)}=\frac{-1}{x+1}+\frac{1\times x+0}{x^2+2}$

$\therefore \frac{x-2}{(x+)(x^2+2)}\equiv \frac{x}{x^2+2}-\frac{1}{x+1};$ যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।