সৃজনশীলঃ ‘A=f:x→2x−12x+3 B=6×3(x−1)(2x−4)(3x−9)…’ যশোর বোর্ড ২০২৫ – বীজগাণিতিক রাশি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $P\left(y\right)=y^3+y^2+4$

$P\left(y\right)$ কে $(2y+m)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে $P(-\frac{m}{2})$

$\therefore P(-\frac{m}{2})={(-\frac{m}{2})}^3+{(-\frac{m}{2})}^2+4$

$=\frac{-m^3}{8}+\frac{m^2}{4}+4=\frac{-m^3+2m^2+32}{8}$

আবার, $P\left(x\right)$ কে $(2y+n)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে $P(-\frac{n}{2})$

$\therefore P(-\frac{n}{2})={(-\frac{n}{2})}^3+{(-\frac{n}{2})}^2+4$

$=\frac{-n^3}{8}+\frac{n^2}{4}+4=\frac{-n^3+2n^2+32}{8}$

শর্তমতে, $P(-\frac{m}{2})=P(-\frac{n}{2})$

বা, $\frac{-m^3+2m^2+32}{8}=\frac{-n^3+2n^2+32}{8}$

বা, $-m^3+2m^2+32=-n^3+2n^2+32$

বা, $-m^3+2m^2=-n^3+2n^2$

বা, $m^3-2m^2=n^3-2n^2$

বা, $m^3-n^3=2m^2-2n^2$

বা, $(m-n)(m^2+mn+n^2)=2(m+n)(m-n)$

বা, $(m-n)\{m^2+mn+n^2-2(m+n\left)\right\}=0$

বা, $(m-n)(m^2+mn+n^2-2m-2n)=0$

$\therefore m^2+mn+n^2-2m-2n=0$ যেহেতু $m\ne n$, সেহেতু $m-n\ne 0\text{. }$

(দেখানো হলো)

দেওয়া আছে,

$B=\frac{6x^3}{(x-1)(2x-4)(3x-9)}$

$=\frac{6x^3}{(x-1)\cdot 2(x-2)\cdot 3(x-3)}$

$=\frac{6x^3}{6(x-1)(x-2)(x-3)}$

$=\frac{x^3}{(x-1)(x-2)(x-3)}$

মনে করি, $\frac{x^3}{(x-1)(x-2)(x-3)}\equiv 1+\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-3}$ ......... (i)

(i) নং এর উভয়পক্ষকে $(x-1)(x-2)(x-3)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$x^3=(x-1)(x-2)(x-3)+A(x-2)(x-3)$

$+B(x-1)(x-3)+C(x-1)(x-2)$ ......... (ii)

(ii)নং এর উভয়পক্ষে $x=1$ বসিয়ে পাই,

$1^3=(1-1)(1-2)(1-3)+A(1-2)(1-3)$

$+B(1-1)(1-3)+C(1-1)(1-2)$

বা, $1=0+A(-1)(-2)+B\times 0+C\times 0$

বা, $1=2A$

$\therefore A=\frac{1}{2}$

(ii) নং এর উভয়পক্ষে $x=2$ বসিয়ে পাই,

$2^3=(2-1)(2-2)(2-3)+A(2-2)(2-3)$

$+B(2-1)(2-3)+C(2-1)(2-2)$

বা, $8=0+A\times 0+B\times 1(-1)+C\times 0$

বা, $8=-$ B

$\therefore B=-8$

আবার, (ii) নং এর উভয়পক্ষে $x=3$ বসিয়ে পাই,

$3^3=(3-1)(3-2)(3-3)+A(3-2)(3-3)$

$+B(3-1)(3-3)+C(3-1)(3-2)$

বা, $27=0+A\times 0+B\times 0+C\times 2\times 1$

বা, $27=2C$

$\therefore C=\frac{27}{2}$

এখন, (i)নং এ A, B, C এর মান বসিয়ে পাই,

$\frac{x^3}{(x-1)(x-2)(x-3)}\equiv 1+\frac{\frac{1}{2}}{x-1}+\frac{-8}{x-2}+\frac{\frac{27}{2}}{x-3}$

$\therefore \frac{x^3}{(x-1)(x-2)(x-3)}\equiv 1+\frac{1}{2(x-1)}-\frac{8}{x-2}+\frac{27}{2(x-3)}$

যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।