সৃজনশীলঃ ‘P(x)=3×3(x−2)(x−3)(x−4)…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২৫ – বীজগাণিতিক রাশি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $P\left(x\right)=2x^3+x^2-18x+10a$

এখন, $(2x+1)=2(x+\frac{1}{2})=2\{x-(-\frac{1}{2})\}P\left(x\right)$ এর একটি উৎপাদক হলে $P(-\frac{1}{2})=0$ হবে।

শর্তমতে, $P(-\frac{1}{2})=0$

বা, $2{(-\frac{1}{2})}^3+{(-\frac{1}{2})}^2-18(-\frac{1}{2})+10a=0$

বা, $2\times (-\frac{1}{8})+\frac{1}{4}+9+10a=0$.

বা, $-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+9=-10a$

বা, $-10a=9$

$\therefore a=-\frac{9}{10}$

নির্ণেয় মান : $a=-\frac{9}{10}$

দেওয়া আছে, $P\left(x\right)=\frac{3x^3}{(x-2)(x-3)(x-4)}$

মনে করি, $\frac{3x^3}{(x-2)(x-3)(x-4)}\equiv 3+\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}+\frac{C}{x-4}\cdots$ ....... (i)

(i)নং এর উভয় পক্ষকে $(x-2)(x-3)(x-4)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$3x^3\equiv 3(x-2)(x-3)(x-4)+A(x-3)(x-4)+B(x-2)(x-4)$

$+C(x-2)(x-3)\dots \dots .\text{ (ii) }$

(ii)নং এ $x=2$ বসিয়ে পাই,

${3.2}^3=3.0+A(2-3)(2-4)+B,0+C.0$

বা, $2A=24$

$\therefore A=12$

আবার, (ii)নং এ $x=3$ বসিয়ে পাই,

${3.3}^3=3.0+A.0+B(3-2)(3-4)+C.0$

ব্য, $-B=81$

$\therefore B=-81$

আবার, (ii)নং এ $x=4$ বসিয়ে পাই,

${3.4}^3=3.0+A.0+B.0+C(4-2)(4-3)$

বা, $2C=192$

$\therefore C=96$

এখন, A, B ও C এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

$\frac{3x^3}{(x-2)(x-3)(x-4)}\equiv 3+\frac{12}{x-2}+\frac{-81}{x-3}+\frac{96}{x-4}$

$\therefore P\left(x\right)\equiv 3+\frac{12}{x-2}-\frac{81}{x-3}+\frac{96}{x-4};$ যা নির্নেয় আংশিক ভগ্নাংশ।