সৃজনশীলঃ ‘যদি px2−yz=qy2−zx=rz2−xy≠0 হয়…’ কুমিল্লা জিলা স্কুল ২০২৬

যদি $\frac{p}{x^{2} - y z} = \frac{q}{y^{2} - z x} = \frac{r}{z^{2} - x y} \neq 0$ হয় এবং $Q (x) = \frac{2 x^{4}}{x^{4} - 16}$

উত্তর:

ধরি, $F (x) = 15 x^{3} + b x^{2} - x - 8$

এখানে, $3 x + 2 = 3 (x + \frac{2}{3})$ ,

$F (x)$ এর একটি উৎপাদক হলে, $F (- \frac{2}{3}) = 0$ হবে।

অর্থাৎ, $F (- \frac{2}{3}) = 0$

বা, $15 {(- \frac{2}{3})}^{3} + b {(- \frac{2}{3})}^{2} - (- \frac{2}{3}) - 8 = 0$

বা, $- 15 \times \frac{8}{27} + \frac{4 b}{9} + \frac{2}{3} - 8 = 0$

বা, $- \frac{40}{9} + \frac{4 b}{9} + \frac{2}{3} - 8 = 0$

বা, $\frac{- 40 + 4 b + 6 - 72}{9} = 0$

বা, $- 40 + 4 b + 6 - 72 = 0$

বা, $- 106 + 4 b_{i} = 0$

বা, $4 b = 106$

বা, $b = \frac{106}{4} = \frac{53}{2}$

নির্ণেয় মান : $b = \frac{53}{2}$ .

উত্তর:

এখানে, $\frac{p}{x^{2} - y z} = \frac{q}{y^{2} - z x} = \frac{r}{z^{2} - x y} \neq 0$

ধরি, $\frac{p}{x^{2} - y z} = \frac{q}{y^{2} - z x} = \frac{r}{z^{2} - x y} = \frac{1}{k} \neq 0$

$∴ \frac{q}{x^{2} - y z} = \frac{1}{k}$

বা, $p k = x^{2} - y z$

বা, $x^{3} - x y z = p x k$ $. . . . . .$ [উভয়পক্ষকে x দ্বারা গুণ করে]

$\frac{q}{y^{2} - z x} = \frac{1}{k}$

বা, $qk = y^{2} - zx$

বা, $y^{3} - x y z = q y k$ $. . . . . . (i i)$ [উভয়পক্ষকে y দ্বারা গুণ করে] এবং $\frac{r}{z^{2} - xy} = \frac{1}{k}$

বা, $rk = z^{2} - xy$

বা, $z^{3} - x y z = r z k$ $. . . . . . (i i i)$ [উভয়পক্ষকে z দ্বারা গুণ করে]

(i), (ii) ও (iii) নং যোগ করে পাই,

$x^{3} - x y z + y^{3} - x y z + z^{3} - x y z = p x k + q y k + r z k$

বা, $x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3 x y z = k (p x + q y + r z)$
বা, $(x + y + z) (x^{2} + y^{2} + z^{2} - xy - yz - zx) = k (px + qy + rz)$

বা, $(x + y + z) {(x^{2} - yz) + (y^{2} - zx) + (z^{2} - xy)} = k (px + qy + rz)$

বা, $(x + y + z) (p k + q k + r k) = k (p x + q y + r z)$

$[∵ x^{2} - y z = p k, y^{2} - z x = q k, z^{2} - x y = r k]$

বা, $(x + y + z) k (p + q + r) = k (p x + q y + r z)$

$∴ (p + q + r) (x + y + z) = px + qy + rz$ (দেখানো হলো)

উত্তর:

দেওয়া আছে, $Q (x) = \frac{2 x^{4}}{x^{4} - 16} = \frac{2 x^{4}}{{(x^{2})}^{2} - 4^{2}} = \frac{2 x^{4}}{(x^{2} + 4) (x^{2} - 4)}$

$= \frac{2 x^{4}}{(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 4)}$

ধরি, $\frac{2 x^{4}}{(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)} \equiv 2 + \frac{A x + B}{(x^{2} + 4)} + \frac{C}{x + 2} + \frac{D}{x - 2}$ . . . . . . . . . .(1)

(1) নং সমীকরণের উভয়পক্ষকে $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$\begin{matrix} 2 x^{4} \equiv 2 (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + (A x + B) (x + 2) (x - 2) \\ + C (x^{2} + 4) (x - 2) + D (x^{2} + 4) (x + 2) \end{matrix}$ . . . . . . . . . .(2)

(2) নং এর উভয়পক্ষে পর্যায়ক্রমে, $x = - 2, 2$ বসিয়ে পাই,

$\begin{matrix} 2 (- 2)^{4} = 2 \times 0 + (A x + B) \times 0 + C (4 + 4) (- 2 - 2) + D \times 0 \\ 32 = C \times (- 32) \end{matrix}$

বা, $C = \frac{32}{- 32} = - 1$

$2 \times 2^{4} = 2 \times 0 + (A x + B) \times 0 + C \times 0 + D (4 + 4) (2 + 2)$

বা, $32 = 0 + 0 + 0 + D \times 32$

বা, $D = \frac{32}{32} = 1$

আবার, (2) নং হতে, $x^{3}, x^{2}$ এর সহগ সমকৃত করে পাই,

$0 = 0 + A + C + D$

বা, $0 = A + 1 - 1$

$\begin{matrix} ∴ & A = 0 \\ 0 = B - 2 C + 2 D \end{matrix}$

বা, $0 = B - 2 (- 1) + 2 \times 1 [∵ C = - 1, D = 1]$

বা, $0 = B + 2 + 2$

বা, $0 = B + 4$

$∴ B = - 4$

এখন, A, B, C এবং D এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$\frac{2 x^{4}}{(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)} \equiv 2 + \frac{0 \cdot x - 4}{x^{2} + 4} + \frac{- 1}{x + 2} + \frac{1}{x - 2}$

$\equiv 2 - \frac{4}{x^{2} + 4} - \frac{1}{x + 2} + \frac{1}{x - 2}$ , যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।

A. Nayan

2 Jun 2026 (3 months ago)

সৃজনশীলঃ ‘যদি px2−yz=qy2−zx=rz2−xy≠0 হয়…’ কুমিল্লা জিলা স্কুল ২০২৬ – বীজগাণিতিক রাশি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

💡 সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর

A. Nayan

2 Jun 2026 (3 months ago)

texthide = ""; texthide = texthide.substring(1) document.write(texthide);

সৃজনশীলঃ ‘যদি px2−yz=qy2−zx=rz2−xy≠0 হয়…’ কুমিল্লা জিলা স্কুল ২০২৬ – বীজগাণিতিক রাশি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

💡 সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর