সৃজনশীলঃ ‘P(x,y,z)=1×3+18y3+164z3 এবং g(x)=(x+1)(x2+2)…’ মাইলস্টোন স্কুল অ্যান্ড কলেজ ঢাকা ২০২৬ – বীজগাণিতিক রাশি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $P(x,yz)=\frac{1}{x^3}+\frac{1}{8y^3}+\frac{1}{64z^3}$

$P(x,y,z)=\frac{3}{8\mathrm{xyz}}$ হলে, $\frac{1}{x^3}+\frac{1}{8y^3}+\frac{1}{64z^3}=\frac{3}{8\mathrm{xyz}}$

বা, ${\left(\frac{1}{x}\right)}^3+{\left(\frac{1}{2y}\right)}^3+{\left(\frac{1}{4z}\right)}^3-3\cdot \frac{1}{x}\cdot \frac{1}{2y}\cdot \frac{1}{4z}=0$

বা, $\frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{4z})\{{(\frac{1}{x}-\frac{1}{2y})}^2+{(\frac{1}{2y}-\frac{1}{4z})}^2+{(\frac{1}{4z}-\frac{1}{x})}^2\}=0$

হয়, $\frac{1}{x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{4z}=0$

বা, $\frac{4yz+2xz+xy}{4xyz}=0$

$\therefore 4yz+2xz+xy=0$

অথবা, ${(\frac{1}{x}-\frac{1}{2y})}^2+{(\frac{1}{2y}-\frac{1}{4z})}^2+{(\frac{1}{4z}-\frac{1}{x})}^2=0$

কিন্তু কতগুলো বর্গের যোগফল শূন্য হলে তার প্রত্যেকটির মান পৃথক পৃথকভাবে শূন্য হয়। 

অর্থাৎ, ${(\frac{1}{x}-\frac{1}{2y})}^2=0$

বা, $\frac{1}{x}-\frac{1}{2y}=0$

বা, $\frac{1}{x}=\frac{1}{2y}$ 

$\therefore x=2y$ 

${(\frac{1}{2y}-\frac{1}{4z})}^2=0$ 

বা, $\frac{1}{2y}-\frac{1}{4z}=0$

বা, $\frac{1}{2y}-\frac{1}{4z}$ 

$\therefore 2y=4z$ 

আবার, ${(\frac{1}{4z}-\frac{1}{x})}^2=0$

বা, $\frac{1}{4z}-\frac{1}{x}=0$

বা, $\frac{1}{4z}=\frac{1}{x}$ 

$\therefore x=4z$ 

সুতরাং $x=2y=4z$ 

$\therefore 4yz+2xz+xy=0$ অথবা $x=2y=4z$. (প্রমাণিত) 

দেওয়া আছে, $g\left(x\right)=(x+1)(x^2+2)$

এখানে, $\frac{x^2}{g\left(x\right)}=\frac{x^2}{(x+1)(x^2+2)}$

ধরি, $\frac{x^2}{(x+1)(x^2+2)}\equiv \frac{A}{x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+2}$$....\left(1\right)$

(1) নং এর উভয়পক্ষকে $(x+1)(x^2+2)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$x^2\equiv A(x^2+2)+(Bx+C)(x+1)$$....\left(2\right)$

(2) নং এর উভয়পক্ষে $x=-1$ বসিয়ে পাই,

$(-1{)}^2=A(1+2)+(-B+C\left)\right(-1+1)$

$1=A\times 3+0$

$\therefore A=\frac{1}{3}$

(2) নং এ  $x=0$ বসিয়ে পাই,

$0=A(0+2)+(B\times 0+C)(0+1)$

বা, $0=2A+C$

বা, $0=2\times \frac{1}{3}+C$

বা, $0=\frac{2}{3}+C$

$\therefore C=-\frac{2}{3}$

আবার, $\left(2\right)$ নং এর উভয়পক্ষ হতে $x^2$ এর সহগ সমীকৃত করে পাই,

$1=A+B$

বা, $l=\frac{1}{3}+B$

বা, $B=1-\frac{1}{3}=\frac{3-1}{3}=\frac{2}{3}$

এখন, A, B এবং C এর মান (1) নং সমীকরণ বসিয়ে পাই,

$\frac{x^2}{(x+1)(x^2+2)}\equiv \frac{\frac{1}{3}}{x+1}+\frac{\frac{2}{3}x+(-\frac{2}{3})}{x^2+2}$

$\equiv \frac{1}{3(x+1)}+\frac{2(x-1)}{3(x^2+2)}$,

যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।