সৃজনশীলঃ ‘ABC ত্রিভুজে D,…’ ময়মনসিংহ গার্লস ক্যাডেট কলেজ ২০২৬ – সমতলীয় ভেক্টর, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

=এখানে, ABC ত্রিভুজের AB, AC ও BC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E ও H. A, R; B, E; C, D যোগ করি।
ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করতে হবে,

$\overrightarrow{\mathrm{AH}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\underset{―}{0}$

$△\mathrm{ABE}$ এ ভেক্টর যোগে ত্রিভুজ বিধি অনুসারে পাই,

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}=\overrightarrow{\mathrm{AE}}$

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}}[\because \overrightarrow{\mathrm{AE}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AC}}]$ বা, $\overrightarrow{\mathrm{AC}}=2(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}})$

আবার, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AC}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}=2(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}})-\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+2\overrightarrow{\mathrm{BE}}$

আবার, $△\mathrm{ABH}$ এ ভেক্টর যোগের ত্রিভুজবিধি অনুসারে,

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BH}}=\overrightarrow{\mathrm{AH}}$

বা, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\overrightarrow{\mathrm{AH}}[\because \overrightarrow{\mathrm{BH}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{BC}}]$

বা, $\overrightarrow{\mathrm{AH}}=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+2\overrightarrow{\mathrm{BE}})=\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}$

$\Delta \mathrm{ACD}$-এ ভেক্টর যোগের ত্রিভুজবিধি অনুসারে, $\overrightarrow{\mathrm{AC}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\overrightarrow{\mathrm{AD}}$

$\begin{array}{cc}\overrightarrow{\mathrm{AC}}& +\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}[\because \overrightarrow{\mathrm{AD}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}]\\ \therefore \overrightarrow{\mathrm{CD}}& =\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}-2(\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}})\\ & =\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}-2\overrightarrow{\mathrm{AB}}-2\overrightarrow{\mathrm{BE}}\\ & =-\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}-2\overrightarrow{\mathrm{BE}}\end{array}$

বামপক্ষ $=\overrightarrow{\mathrm{AH}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}$

$=(\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}})+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+(-\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}-2\overrightarrow{\mathrm{BE}})$

$=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}-\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}-2\overrightarrow{\mathrm{BE}}$

$=\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\frac{3}{2}\overrightarrow{\mathrm{AB}}+2\overrightarrow{\mathrm{BE}}-2\overrightarrow{\mathrm{BE}}$

$=\underset{―}{0}=$ ডানপক্ষ

সুতরাং $\overrightarrow{\mathrm{AH}}+\overrightarrow{\mathrm{BE}}+\overrightarrow{\mathrm{CD}}=\underset{―}{0}$

মনে করি, $BCED$ চতুর্ভুজের $BC$ ও $DE$ সমান্তরাল বাহু $(BC>DE)$ এবং $BE$ ও $CD$ কর্ণের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে $M$ ও $N$। প্রমাণ করতে হবে যে, $MN||DE||BC$

এবং $\mathrm{MN}=\frac{1}{2}(\mathrm{BC}-\mathrm{DE})$

মনে করি, কোনো নির্দিষ্ট মূলবিন্দুর সাপেক্ষে B, C, E এবং D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $\underset{―}{b},\underset{―}{c},\underset{―}{e}$ ও $\underset{―}{d}$.

তাহলে, $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\underset{―}{c}-\underset{―}{b}$

এবং $\overrightarrow{\mathrm{DE}}=\underset{―}{e}-\underset{―}{d}$

এখন, M বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $=\frac{1}{2}(\underset{―}{b}+\underset{―}{e})$

N বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $=\frac{1}{2}(\underset{―}{c}+\underset{―}{d})$

সুতরাং, $\overrightarrow{MN}=\frac{1}{2}(\underset{―}{c}+\underset{―}{d})-\frac{1}{2}(\underset{―}{b}+\underset{―}{e})$

$=\frac{1}{2}(\underset{―}{c}+\underset{―}{d}-\underset{―}{b}-\underset{―}{e})=\frac{1}{2}(\underset{―}{c}-\underset{―}{b}+\underset{―}{d}-\underset{―}{e})$

কিন্তু $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\underset{―}{c}-\underset{―}{b}$

এবং $\overrightarrow{ED}=\underset{―}{d}-\underset{―}{e}$

$\begin{array}{cc}\therefore & \overrightarrow{\mathrm{MN}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{BC}}+\overrightarrow{\mathrm{ED}})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{BC}}-\overrightarrow{\mathrm{DE}})\\ & |\overrightarrow{\mathrm{MN}}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{BC}}-\overrightarrow{\mathrm{DE}}|\end{array}$

বা, $\mathrm{MN}=\frac{1}{2}(|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|-|\overrightarrow{\mathrm{DE}}|)=\frac{1}{2}(\mathrm{BC}-\mathrm{DE})$

এখন, $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{DE}}$ পরস্পর সমান্তরাল।

সুতরাং $\overrightarrow{\mathrm{BC}}-\overrightarrow{\mathrm{DE}}$ ভেক্টর ও $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{DE}}$ এর সমান্তরাল ।

সুতরাং $MN,DE$ ও $BC$ এর সমান্তরাল ।

অর্থাৎ $MN||DE||BC$ এবং $MN=\frac{1}{2}(BC-DE)$. (প্রমাণিত)