সৃজনশীলঃ ‘△MNO এর MN…’ রাজউক উত্তরা মডেল কলেজ ২০২৬ – সমতলীয় ভেক্টর, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $△\mathrm{MNO}$ এর MN ও MO বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে X ও Y.

প্রমাণ করতে হবে যে, $\mathrm{XY}=\frac{1}{2}\mathrm{NO}$ এবং $\mathrm{XY}\Vert \mathrm{NO}$.

প্রমাণ : X ও Y যথাক্রমে MN ও MO এর মধ্যবিন্দু ।

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{MX}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{MN}}$

এবং $\overrightarrow{\mathrm{MY}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{MO}}$

$△\mathrm{MXY}$ হতে ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে পাই,

$\overrightarrow{\mathrm{MX}}+\overrightarrow{\mathrm{XY}}=\overrightarrow{\mathrm{MY}}$

বা, $\overrightarrow{\mathrm{XY}}=\overrightarrow{\mathrm{MY}}-\overrightarrow{\mathrm{MX}}$

বা, $\overrightarrow{\mathrm{XY}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{MO}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{MN}}$

বা, $\overrightarrow{\mathrm{XY}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{MO}}-\overrightarrow{\mathrm{MN}})$ ..... (1)

আবার, $△\mathrm{MNO}$ হতে ভেক্টর যোগের ত্রিভুজ বিধি অনুসারে পাই,

$\overrightarrow{\mathrm{MN}}+\overrightarrow{\mathrm{NO}}=\overrightarrow{\mathrm{MO}}$

বা, $\overrightarrow{\mathrm{NO}}=\overrightarrow{\mathrm{MO}}-\overrightarrow{\mathrm{MN}}$ ...... (2)

(1) ও (2) হতে পাই,

$\overrightarrow{\mathrm{XY}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{NO}}$

বা, $|\overrightarrow{\mathrm{XY}}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{NO}}|$

$\therefore \mathrm{XY}=\frac{1}{2}\mathrm{NO}$

আবার, $\mathrm{XY}$ ও NO ভেক্টরদ্বয়ের ধারক রেখা একই বা সমান্তরাল। কিন্তু এখানে ধারক রেখা এক নয়।

সুতরাং $\overrightarrow{\mathrm{XY}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{NO}}$ ভেক্টরদ্বয়ের ধারক রেখাদ্বয় $\mathrm{XY}$ ও NO সমান্তরাল।

$\therefore \mathrm{XY}=\frac{1}{2}\mathrm{NO}$ এবং $\mathrm{XY}||$ NO. (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $\mathrm{XNOY}$ ট্রাপিজিয়ামের কর্ণ $\mathrm{NY}$ ও কর্ণ $\mathrm{OX}$ এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে A ও B ।

A, B যোগ করি। প্রমাণ করতে হবে যে, $AB=\frac{1}{2}(NO-XY)$ এবং $\mathrm{AB}\Vert \mathrm{XY}\Vert \mathrm{NO}$.

প্রমাণ : মনে করি, কোনো মূলবিন্দুর প্রেক্ষিতে $X,N,O$ ও $Y$ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $\underset{―}{x},\underset{―}{n},\underset{―}{0}$ ও $\underset{―}{y}$।

তাহলে, $\overrightarrow{NO}=\underset{―}{0}-\underset{―}{n},\overrightarrow{XY}=\underset{―}{y}-\underset{―}{x}$

এখন, A বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $=\frac{1}{2}(\underset{―}{n}+y)$

এবং B বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $=\frac{1}{2}(\underset{―}{o}+\underset{―}{x})$

সুতরাং, $\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}(\underset{―}{o}+\underset{―}{x})-\frac{1}{2}(\underset{―}{n}+\underset{―}{y})=\frac{1}{2}(\underset{―}{o}+\underset{―}{x}-n-y)$

$=\frac{1}{2}(\underset{―}{o}-n+\underset{―}{x}-y)=\frac{1}{2}(\overrightarrow{NO}+\overrightarrow{YX})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{NO}-\overrightarrow{XY})$

এখন, $\overrightarrow{\mathrm{XY}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{NO}}$ সমান্তরাল কিন্তু বিপরীতমুখী।

সুতরাং ( $\overrightarrow{\mathrm{NO}}-\overrightarrow{\mathrm{XY}}$ ) ভেক্টরও $\overrightarrow{\mathrm{XY}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{NO}}$ এর সমান্তরাল।

আবার, $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{NO}}-\overrightarrow{\mathrm{XY}}|$

বা, $AB=\frac{1}{2}(|\overrightarrow{NO}|-|\overrightarrow{XY}|)$

$\therefore AB=\frac{1}{2}(NO-XY)$

$\therefore AB=\frac{1}{2}(NO-XY)$ এবং $AB\Vert XY\Vert NO.$ (প্রমাণিত)