সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প : PQR…’ ফৌজদারহাট ক্যাডেট কলেজ ২০২৬ – সমতলীয় ভেক্টর, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

এখানে, $△\mathrm{PQR}$ এর PQ ও PR বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে A ও B। প্রমাণ করতে হবে যে, $2\mathrm{AB}=\mathrm{QR}$.

প্রমাণ : যেহেতু PQ ও PR এর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে A এবং B

$\therefore \overrightarrow{\mathrm{PA}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{PR}}$

এখন, $△\mathrm{PAB}$ হতে ভেক্টর বিয়োগবিধি অনুসারে পাই,

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{\mathrm{PB}}-\overrightarrow{\mathrm{PA}}$

বা, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{PR}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{PQ}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{PR}}-\overrightarrow{\mathrm{PQ}})$

আবার, $△\mathrm{PQR}$-হতে ভেক্টরের ত্রিভুজের বিয়োগবিধি অনুসারে পাই,

$\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\overrightarrow{\mathrm{PR}}-\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$

(1) ও (2) নং হতে পাই, $\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\frac{1}{2}\overrightarrow{\mathrm{QR}}$

বা, $|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{QR}}|$

বা, $\mathrm{AB}=\frac{1}{2}\mathrm{QR}$

$\therefore 2\mathrm{AB}=\mathrm{QR}$ প্রমাণিত 

মনে করি, QRBA ট্রাপিজিয়ামের QB ও AR কর্ণের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D ও E। প্রমাণ করতে হবে যে,

$\mathrm{DE}=\frac{1}{2}(\mathrm{QR}-\mathrm{AB})$

প্রমাণ : মনে করি, কোনো নির্দিষ্ট মূলবিন্দুর প্রেক্ষিতে Q, R, B ও A বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে q, t, t, ও s.

তাহলে, $\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\underset{―}{r}-\underset{―}{q}$ এবং$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\underset{―}{t}-\underset{―}{s}$

এখন, D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $=\frac{1}{2}(\underset{―}{q}+\underset{―}{t})$

এবং E বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর $=\frac{1}{2}(\underset{―}{r}+\underset{―}{s})$

সুতরাং $\overrightarrow{\mathrm{DE}}=\frac{1}{2}(\underset{―}{r}+\underset{―}{s})-\frac{1}{2}(\underset{―}{q}+\underset{―}{t})=\frac{1}{2}(\underset{―}{r}+\underset{―}{s}-\underset{―}{q}-\underset{―}{t})=\frac{1}{2}(\underset{―}{r}-\underset{―}{q}+\underset{―}{s}-\underset{―}{t})$

কিন্তু, $\overrightarrow{\mathrm{QR}}=\underset{―}{r}-\underset{―}{q}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{BA}}=\underset{―}{s}-\underset{―}{t}$

অর্থাৎ $\overrightarrow{\mathrm{DE}}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{QR}}+\overrightarrow{\mathrm{BA}})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{\mathrm{QR}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}})$

বা, $|\overrightarrow{\mathrm{DE}}|=\frac{1}{2}|\overrightarrow{\mathrm{QR}}-\overrightarrow{\mathrm{AB}}|$

বা, $\mathrm{DE}=\frac{1}{2}(|\overrightarrow{\mathrm{QR}}|-|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|)=\frac{1}{2}(\mathrm{QR}-\mathrm{AB})$

$\therefore \mathrm{DE}=\frac{1}{2}(\mathrm{QR}-\mathrm{AB})$ (প্রমাণিত)