সৃজনশীলঃ ‘P(x)=18×3−15×2−x+2…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০১৯ – বীজগাণিতিক রাশি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

$P (x) = 18 x^{3} - 15 x^{2} - x + 2$

উত্তর:

দেওয়া আছে, $P (x) = 18 x^{3} - 15 x^{2} - x + 2$
$3 x + 1 = 3 {x - (- \frac{1}{3})}, P (x)$ এর একটি উৎপাদক হবে যদি

$P (- \frac{1}{3}) = 0$ হয়।

এখন, $P (- \frac{1}{3}) = 18 {(- \frac{1}{3})}^{3} - 15 \cdot {(- \frac{1}{3})}^{2} - (- \frac{1}{3}) + 2$

$\begin{matrix} = - \frac{18}{27} - \frac{15}{9} + \frac{1}{3} + 2 \\ = - \frac{2}{3} - \frac{5}{3} + \frac{1}{3} + 2 = \frac{- 2 - 5 + 1 + 6}{3} = \frac{7 - 7}{3} = \frac{0}{3} = 0 \end{matrix}$

$∴ (3 x + 1), P (x)$ এর একটি উৎপাদক। (দেখানো হলো)

উত্তর:

দেওয়া আছে, $P (x) = 18 x^{3} - 15 x^{2} - x + 2$
$P (x)$ কে $(x - m)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ,

$P (m) = 18 m^{3} - 15 m^{2} - m + 2$

এবং $P (x)$ কে $(x - n)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ,

$P (n) = 18 n^{3} - 15 n^{2} - n + 2$

শর্তমতে, $P (m) = P (n)$
বা, $18 m^{3} - 15 m^{2} - m + 2 = 18 n^{3} - 15 n^{2} - n + 2$
বা, $18 m^{3} - 18 n^{3} - 15 m^{2} + 15 n^{2} - m + n + 2 - 2 = 0$
বা, $18 (m^{3} - n^{3}) - 15 (m^{2} - n^{2}) - 1 (m - n) = 0$
বা, $18 (m - n) (m^{2} + m n + n^{2}) - 15 (m + n) (m - n) - 1 (m - n) = 0$
বা, $(m - n) (18 m^{2} + 18 m n + 18 n^{2} - 15 m - 15 n - 1) = 0$

$∴ 18 m^{2} + 18 m n + 18 n^{2} - 15 m - 15 n - 1 = 0 [∵ m \neq n]$

(দেখানো হলো)

উত্তর:

দেওয়া আছে,

$\begin{matrix} P (x) & = 18 x^{3} - 15 x^{2} - x + 2 \\ = 18 x^{3} + 6 x^{2} - 21 x^{2} - 7 x + 6 x + 2 \\ = 6 x^{2} (3 x + 1) - 7 x (3 x + 1) + 2 (3 x + 1) \\ = (3 x + 1) (6 x^{2} - 7 x + 2) = (3 x + 1) (6 x^{2} - 3 x - 4 x + 2) \\ = (3 x + 1) {3 x (2 x - 1) - 2 (2 x - 1)} \\ = (3 x + 1) (2 x - 1) (3 x - 2) \end{matrix}$

এখন, $\frac{3 x - 2}{P (x)} = \frac{(3 x - 2)}{(3 x + 1) (2 x - 1) (3 x - 2)} = \frac{1}{(3 x + 1) (2 x - 1)}$
ধরি, $\frac{1}{(3 x + 1) (2 x - 1)} = \frac{A}{3 x + 1} + \frac{B}{2 x - 1}$ $. . . . (1)$
$(i)$ নং এর উভয়পক্ষকে $(3 x + 1) (2 x - 1)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$1 \equiv A (2 x - 1) + B (3 x + 1)$ $. . . . (2)$

$(2)$ নং এ $x = \frac{1}{2}$ বসিয়ে পাই, $1 = A (2 \cdot \frac{1}{2} - 1) + B (3 \cdot \frac{1}{2} + 1)$

বা, $1 = 0 + B (\frac{3 + 2}{2})$
বা, B. $\frac{5}{2} = 1 ∴ B = \frac{2}{5}$
আবার, $(2)$ নং এ $x = - \frac{1}{3}$ বসিয়ে পাই,

আবার, (2)নং এ $x = - \frac{1}{3}$ বসিয়ে পাই,

$1 = A {2 \cdot (- \frac{1}{3}) - 1} + B {3 \cdot (- \frac{1}{3}) + 1}$

বা, $1 = A (\frac{- 2 - 3}{3}) + 0$
বা, $A (\frac{- 5}{3}) = 1 ∴ A = \frac{- 3}{5}$
এখন, (1)নং এ A ও B এর মান বসিয়ে পাই,

$\begin{matrix} \frac{1}{(3 x + 1) (2 x - 1)} & \equiv \frac{\frac{- 3}{5}}{3 x + 1} + \frac{\frac{2}{5}}{2 x - 1} \\ = - \frac{3}{5 (3 x + 1)} + \frac{2}{5 (2 x - 1)} = \frac{2}{5 (2 x - 1)} - \frac{3}{5 (3 x + 1)} \end{matrix}$

$∴ \frac{3 x - 2}{P (x)} = \frac{2}{5 (2 x - 1)} - \frac{3}{5 (3 x + 1)};$ যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।

A. Nayan

2 Jun 2026 (3 months ago)

সৃজনশীলঃ ‘P(x)=18×3−15×2−x+2…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০১৯ – বীজগাণিতিক রাশি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

💡 সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর

A. Nayan

2 Jun 2026 (3 months ago)

texthide = ""; texthide = texthide.substring(1) document.write(texthide);

সৃজনশীলঃ ‘P(x)=18×3−15×2−x+2…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০১৯ – বীজগাণিতিক রাশি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

💡 সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর