সৃজনশীলঃ ‘M(r,s,t)=r3+s3+t3 এবং N(x)=x3+2×2−x−2.…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২০ – বীজগাণিতিক রাশি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $M(r,s,t)=r^3+s^3+t^3$
এখন, $M(r,s,t)=3\mathrm{rst}$ হলে, $r^3+s^3+t^3=3\mathrm{rst}$
বা, $r^3+s^3+t^3-3rst=0$
বা, $\frac{1}{2}(r+s+t)\left\{\right(r-s{)}^2+(s-t{)}^2+(t-r{)}^2\}=0$
বা, $(r+s+t)\left\{\right(r-s{)}^2+(s-t{)}^2+(t-r{)}^2\}=0$
হয়, $r+s+t=0$ অথবা, $(r-s{)}^2+(s-t{)}^2+(t-r{)}^2=0$
কিন্তু কতগুলো বর্গরাশির সমষ্টি শূন্য হলে তার প্রত্যেকটির মান শূন্য হয়। 

অর্থাৎ, $(r-s{)}^2=0$
বা, $r-s=0$

$\therefore r=s,$

অর্থাৎ, $r=s=t$ 

অথবা, $(s-t{)}^2=0$
বা, $s-t=0$

$\therefore s=t$ 

অর্থাৎ, $r=s=t$
সুতরাং r + s + t = 0 অথবা, r = s = t. (প্রমাণিত) 

দেওয়া আছে, $N\left(x\right)=x^3+2x^2-x-2$

$\begin{array}{cc}& =x^3-x^2+3x^2-3x+2x-2\\ & =x^2(x-1)+3x(x-1)+2(x-1)\\ & =(x-1)(x^2+3x+2)=(x-1)(x^2+2x+x+2)\\ & =(x-1)\left\{x\right(x+2)+1(x+2\left)\right\}=(x-1)(x+1)(x+2)\\ \therefore & \frac{x^3+5}{N\left(x\right)}=\frac{x^3+5}{(x-1)(x+1)(x+2)}\end{array}$

ধরি, $\frac{x^3+5}{(x-1)(x+1)(x+2)}\equiv 1+\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x+2}$$...\left(1\right)$

সমীকরণ (1) এর উভয়পক্ষে $(x-1)(x+1)(x+2)$ গুণ করে পাই,

$r{x}^3+5\equiv (x-1)(x+1)(x+2)+A(x+1)(x+2)$$+B(x-1)(x+2)+C(x-1)(x+1)$$...\left(2\right)$

(2)নং সমীকরণে $x=1$ বসিয়ে পাই,

$1^3+5=0+A(1+1)(1+2)+0+0$

বা, $1+5=A(2\times 3)$
বা, $6=6A$
বা, $A=\frac{6}{6}=1$ 

আবার, (2)নং সমীকরণে $x=-1$ বসিয়ে পাই,

$(-1{)}^3+5=0+0+B(-1-1\left)\right(-1+2)+0$

বা, $-1+5=B(-2\times 1)$
বা, 4=-2B
বা, $B=\frac{4}{-2}=-2$
আবার, (2)নং সমীকরণে $x=-2$ বসিয়ে পাই,

$(-2{)}^3+5=0+0+0+C(-2-1\left)\right(-2+1)$

বা, $-8+5=C\left\{\right(-3)\times (-1\left)\right\}$
বা, $-3=3C$
বা, $C=\frac{-3}{3}=-1$
এখন, (1)নং সমীকরণে A, B ও C এর মান বসিয়ে পাই,

$\frac{x^3+5}{(x-1)(x+1)(x+2)}\equiv 1+\frac{1}{x-1}+\frac{-2}{x+1}+\frac{-1}{x+2}$

$\equiv 1+\frac{1}{x-1}-\frac{2}{x+1}-\frac{1}{x+2};$ যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।