সৃজনশীলঃ ‘P(x)=x3+4×2+x−6.…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২২ – বীজগাণিতিক রাশি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $P\left(x\right)=x^3+4x^2+x-6$ এখানে, $(x-m)$ ও $(x-n)$ উভয়ই $P\left(x\right)$ এর উৎপাদক হলে $P\left(m\right)$ ও $P\left(n\right)$ উভয়ের মানই শূন্য হবে।
অর্থাৎ, $P\left(m\right)=P\left(n\right)$
বা, $m^3+4m^2+m-6=n^3+4n^2+n-6$
বা, $m^3-n^3+4(m^2-n^2)+(m-n)=0$
বা, $(m-n)(m^2+mn+n^2)+4(m+n)(m-n)+(m-n)=0$
বা, $(m-n)\{m^2+mn+n^2+4(m+n)+1\}=0$
বা, $(m-n)(m^2+mn+n^2+4m+4n+1)=0$
$\therefore m-n=0$ অথবা, $m^2+mn+n^2+4m+4n+1=0$
বা, $m=n$, যা গ্রহণযোগ্য নয়। কেননা, $m\ne n$
$\therefore m^2+mn+n^2+4m+4n+1=0$. (প্রমাণিত) 

দেওয়া আছে, $P\left(x\right)=x^3+4x^2+x-6$

$\therefore P\left(1\right)=1^3+4\cdot 1^2+1-6=1+4-5=5-5=0$

অর্থাৎ, $(x-1),P\left(x\right)$ এর একটি উৎপাদক
এখন, $x^3+4x^2+x-6=x^3-x^2+5x^2-5x+6x-6$

$\begin{array}{cc}& =x^2(x-1)+5x(x-1)+6(x-1)\\ & =(x-1)(x^2+5x+6)=(x-1)(x^2+2x+3x+6)\\ & =(x-1)\left\{x\right(x+2)+3(x+2\left)\right\}=(x-1)(x+2)(x+3)\end{array}$

এখানে, $\frac{x^3}{P\left(x\right)}=\frac{x^3}{x^3+4x^2+x-6}=\frac{x^3}{(x-1)(x+2)(x+3)}$
মনে করি,

$\frac{x^3}{(x-1)(x+2)(x+3)}\equiv 1+\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{x+3}$$....\left(i\right)$

উভয়পক্ষকে $(x-1)(x+2)(x+3)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$x^3\equiv (x-1)(x+2)(x+3)+A(x+2)(x+3)$ 
$+B(x-1)(x+3)+C(x-1)(x+2)$$....\left(ii\right)$

$\left(ii\right)$ নং এর উভয়পক্ষে $x=1$ বসিয়ে পাই,

$\begin{array}{cc}{1}^3=(1-1)(1+2)(1& +3)+A(1+2\left)\right(1+3)\\ & +B(1-1)(1+3)+C(1-1)(1+2)\end{array}$

বা, $1=0+A\times 3\times 4+B\times 0+C\times 0=12A$

$\therefore A=\frac{1}{12}$

$\left(ii\right)$ নং এর উভয়পক্ষে $x=-2$ বসিয়ে পাই,

$\begin{array}{c}(-2{)}^3=(-2-1\left)\right(-2+2\left)\right(-2+3)+A(-2+2\left)\right(-2+3)\\ +B(-2-1)(-2+3)+C(-2-1)(-2+2)\end{array}$

বা, $-8=0+A\times 0+B(-3)\times 1+C\times 0$
বা, $-8=-3B$

$\therefore B=\frac{8}{3}$

(ii) নং এর উভয়পক্ষে x = - 3 বসিয়ে পাই, 

$\begin{array}{cc}(-3{)}^3& =(-3-1)(-3+2)(-3+3)+A(-3+2)(-3+3)\\ & +B(-3-1)(-3+3)+C(-3-1)(-3+2)\end{array}$ 

বা, $-27=0+A\times 0+B\times 0+C(-4)(-1)=4C$

$\therefore C=-\frac{27}{4}$

এখন, (i) নং এ A, B, C এর মান বসিয়ে পাই,

$\begin{array}{cc}& \frac{x^3}{(x-1)(x+2)(x+3)}=1+\frac{\frac{1}{12}}{x-1}+\frac{\frac{8}{3}}{x+2}\frac{\frac{-27}{4}}{x+3}\\ \therefore & \frac{x^3}{P\left(x\right)}=1+\frac{1}{12(x-1)}+\frac{8}{3(x+2)}-\frac{27}{4(x+3)}\end{array}$

এটিই নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশিত রূপ।