সৃজনশীলঃ ‘M=x−3+y−3+z−3−3x−1y−1z−1এবং L(x)=(3x−5)(x3−6×2+9x)−1…’ যশোর বোর্ড ২০২২ – বীজগাণিতিক রাশি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $M=x^{-3}+y^{-3}+z^{-3}-3x^{-1}{y}^{-1}{z}^{-1}$

$M=0$ হলে, $x^{-3}+y^{-3}+z^{-3}-3x^{-1}{y}^{-1}{z}^{-1}=0$

বা, $\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}+\frac{1}{z^3}-3\cdot \frac{1}{x}\cdot \frac{1}{y}\cdot \frac{1}{z}=0$
বা, ${\left(\frac{1}{x}\right)}^3+{\left(\frac{1}{y}\right)}^3+{\left(\frac{1}{z}\right)}^3-3\cdot \frac{1}{x}\cdot \frac{1}{y}\cdot \frac{1}{z}=0$
বা, $\frac{1}{2}(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\{{(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})}^2+{(\frac{1}{y}-\frac{1}{z})}^2+{(\frac{1}{z}-\frac{1}{x})}^2\}=0$
বা, $(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\{{(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})}^2+{(\frac{1}{y}-\frac{1}{z})}^2+{(\frac{1}{z}-\frac{1}{x})}^2\}=0$
হয়, $(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=0$
বা, $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0$
বা, $\frac{yz+zx+xy}{xyz}=0$

$\therefore xy+yz+zx=0$

অথবা, ${(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})}^2+{(\frac{1}{y}-\frac{1}{z})}^2+{(\frac{1}{z}-\frac{1}{x})}^2=0$
কিন্তু, কতগুলো বর্গ রাশির সমষ্টি শূন্য হলে এদের প্রত্যেকটির মান পৃথকভাবে শূন্য হবে।

অর্থাৎ, ${(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})}^2=0$
বা, $\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=0$
বা, $\frac{1}{x}=\frac{1}{y}$
$\therefore x=y$

${(\frac{1}{y}-\frac{1}{z})}^2=0$ 

বা, $\frac{1}{y}-\frac{1}{z}=0$
বা, $\frac{1}{y}=\frac{1}{z}$ 

$\therefore y=z$ 

${(\frac{1}{z}-\frac{1}{x})}^2=0$ 

বা, $\frac{1}{z}-\frac{1}{x}=0$
বা, $\frac{1}{z}=\frac{1}{x}$ 

$\therefore z=x$

$\therefore x=y=z$ 

অতএব, $x=y=z$ অথবা $\mathrm{xy}+\mathrm{yz}+\mathrm{zx}=0$.
(প্রমাণিত) 

দেওয়া আছে, $L\left(x\right)=(3x-5){(x^3-6x^2+9x)}^{-1}$

$=\frac{3x-5}{x^3-6x^2+9x}=\frac{3x-5}{x(x^2-6x+9)}=\frac{3x-5}{x(x^2-2\cdot x\cdot 3+3^2)}=\frac{3x-5}{x(x-3{)}^2}$

ধরি, $\frac{3x-5}{x(x-3{)}^2}\equiv \frac{A}{x}+\frac{B}{x-3}+\frac{C}{(x-3{)}^2}$$.....\left(i\right)$
$\left(i\right)$ নং এর উভয়পক্ষকে $x(x-3{)}^2$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$3x-5\equiv A(x-3{)}^2+Bx(x-3)+Cx$$.....\left(ii\right)$

$\left(ii\right)$ নং এর উভয়পক্ষে $x=0$ বসিয়ে পাই,

$x\times 0-5=A(0-3{)}^2+B\times 0+C\times 0$

বা, $-5=9A$

$\therefore A=-\frac{5}{9}$

$\left(ii\right)$ নং এর উভয়পক্ষে $x=3$ বসিয়ে পাই,

$3\times 3-5=A(3-3{)}^2+B\times 3(3-3)+C\times 3$

বা, $4=3C$

$\therefore C=\frac{4}{3}$

আবার, $\left(ii\right)$ নং এর উভয়পক্ষ হতে $x^2$ এর সহগ সমীকৃত করে পাই,

$0=A+B$

বা, $-\frac{5}{9}+B=0$

$\therefore B=\frac{5}{9}$

এখন, $\left(i\right)$ নং এ A, B, C এর মান বসিয়ে পাই,

$\begin{array}{cc}& \frac{3x-5}{x(x-3{)}^2}=\frac{-\frac{5}{9}}{x}+\frac{\frac{5}{9}}{x-3}+\frac{\frac{4}{3}}{(x-3{)}^2}\\ \therefore & L\left(x\right)=\frac{3x-5}{x(x-3{)}^2}=-\frac{5}{9x}+\frac{5}{9(x-3)}+\frac{4}{3(x-3{)}^2}\end{array}$

এটিই নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশে প্রকাশিত রূপ।