সৃজনশীলঃ ‘A(p,q,r)=(p+q+r)(pq+qr+rp) এবং Q(x)=x3−49x.…’ ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৩ – বীজগাণিতিক রাশি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $A(p,q,r)=(p+q+r)(pq+qr+rp)$

$P(p,q,r)=pqr$ হলে,$pqr=(p+q+r)(pq+qr+rp)$

বা, $(p+q+r)(pq+qr+rp)-pqr=0$
বা, $p(pq+qr+rp)+q(pq+qr+rp)+r(pq+qr+rp)-pqr=0$
বা, $p^{2}q+pqr+r{p}^2+p{q}^2+q^{2}r+pqr+pqr+q{r}^2+r^{2}p-pqr=0$
বা, $p^{2}q+pqr+m{p}^2+p{q}^2+q^{2}r+pqr+q{r}^2+r^{2}p=0$
বা, $pq(p+q)+qr(p+q)+rp(p+q)+r^2(p+q)=0$
বা, $(p+q)(pq+qr+rp+r^2)=0$
বা, $(p+q)\left\{q\right(r+p)+r(r+p\left)\right\}=0$
বা, $(p+q)(q+r)(r+p)=0$ 

হয়, $(p+q)=0$ 

$\therefore p=-q$ 

অথবা, $(q+r)=0$
বা, $q=-r$ 

অথবা, $r+p=0$
বা, r = - p 

এখন, $p=-q$ হলে,
বামপক্ষ $=\frac{1}{(p+q+r{)}^s}=\frac{1}{(-q+q+r{)}^s}=\frac{1}{r^3}$
ডানপক্ষ $=\frac{1}{p^3}+\frac{1}{q^3}+\frac{1}{r^3}=\frac{1}{(-q{)}^5}+\frac{1}{q^5}+\frac{1}{r^3}=-\frac{1}{q^3}+\frac{1}{q^5}+\frac{1}{r^3}=\frac{1}{r^3}$
সুতরাং $\frac{1}{(p+q+r{)}^s}=\frac{1}{p^s}+\frac{1}{q^s}+\frac{1}{r^s}$ (দেখানো হলো) 

দেওয়া আছে, $Q\left(x\right)=x^3-49x$

$\therefore \frac{x^3}{Q\left(x\right)}=\frac{x^3}{x^3-49x}=\frac{x^3}{x(x^2-49)}=\frac{x^2}{x^2-7^2}=\frac{x^2}{(x+7)(x-7)}$

মনে করি, $\frac{x^2}{(x+7)(x-7)}\equiv 1+\frac{A}{x+7}+\frac{B}{x-7}$$.....\left(i\right)$
(i) নং এর উভয়পক্ষকে $(x+7)(x-7)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$x^2=(x+7)(x-7)+A(x-7)+B(x+7)$$.....\left(ii\right)$

(ii) নং এর উভয়পক্ষে, $x=7$ বসিয়ে পাই,

$7^2=(7+7)(7-7)+A(7-7)+B(7+7)$

বা, $49=0+A\times 0+B\times 14$
বা, $B=\frac{49}{14}=\frac{7}{2}$ 

আবার, (ii) নং এর উভয়পক্ষে, $x=-7$ বসিয়ে পাই,

$(-7{)}^2=(-7+7\left)\right(-7-7)+A(-7-7)+B(-7+7)$

বা, $49=0+A\times (-14)+B\times 0$
বা, $A=\frac{49}{-14}=-\frac{7}{2}$
এখন, A ও B এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, 

$\frac{x^2}{(x+7)(x-7)}=1+\frac{-\frac{7}{2}}{x+7}+\frac{\frac{7}{2}}{x-7}$ 

$=1-\frac{7}{2(x+7)}+\frac{7}{2(x-7)}$, যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ ।