সৃজনশীলঃ ‘f(x)=x3+2×2−15x একটি বহুপদী।…’ বরিশাল বোর্ড ২০২৩ – বীজগাণিতিক রাশি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x^3+2x^2-15x$
$f\left(x\right)$ কে $(x-m)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে $f\left(x\right)$

$\therefore f\left(m\right)=m^3+2m^2-15m$

আবার, $f\left(x\right)$ কে $(x-n)$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে $f\left(n\right)$

$\therefore f\left(n\right)=n^3+2n^2-15n$

শর্তমতে, $f\left(m\right)=f\left(n\right)$
বা, $m^3+2m^2-15m=n^3+2n^2-15n$
বা, $m^3-n^3+2(m^2-n^2)-15(m-n)=0$
বা, $(m-n)(m^2+mn+n^2)+2(m+n)(n-n)-15(m-n)=0$
বা, $(m-n)(m^2+mn+n^2+2m+2n-15)=0$
∴ হয়, $m-n=0$ অথবা, $m^2+mn+n^2+2m+2n-15=0$
কিন্তু $m\ne n$ সুতরাং $m-n\ne 0$

$\therefore m^2+mn+n^2+2m+2n-15=0$(দেখানো হলো)  

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=x^3+2x^2-15x$ 

$\begin{array}{cc}& =x(x^2+2x-15)=x(x^2+5x-3x-15)\\ & =x\left\{x\right(x+5)-3(x+5\left)\right\}\\ & =x\left\{\right(x+5\left)\right(x-3\left)\right\}=x(x+5)(x-3)\end{array}$ 

এখন, $\frac{x+2}{f\left(x\right)}=\frac{x+2}{x(x+5)(x-3)}$
ধরি, $\frac{x+2}{x(x+5)(x-3)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+5}+\frac{C}{x-3}$$....\left(1\right)$
(1) নং এর উভয়পক্ষকে $x(x+5)(x-3)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$x+2\equiv A(x+5)(x-3)+Bx(x-3)+Cx(x+5)$

(2) নং এর উভয়পক্ষে $x=0,3,-5$ বসিয়ে পাই,

$0+2=A(0+5)(0-3)+B\times 0(0-3)+C\times 0(0+5)$

বা, $2=-15A+0+0$
বা, $-15A=2$ 

$\begin{array}{cc}& \therefore A=-\frac{2}{15}\\ & 3+2=A(3+5)(3-3)+B\times 3(3-3)+C\times 3(3+5)\end{array}$

বা, $5=A\times 0+B\times 0+C\times 24$
বা, $5=24C$ 

$\therefore C=\frac{5}{24}$ 

আবার, $-5+2=A(-5+5)(-5-3)+B(-5)(-5-3)+C(-5)(-5+5)$
বা, $-3=A\times 0+B\times 40+C\times 0$
বা, $-3=40B$
$\therefore B=-\frac{3}{40}$
এখন, A, B ও C এর মান (1) নং এ বসিয়ে পাই, 

$\frac{x+2}{x(x+5)(x-3)}\equiv \frac{-\frac{2}{15}}{x}+\frac{-\frac{3}{40}}{4+5}+\frac{\frac{5}{24}}{x-3}$  

$\equiv -\frac{2}{15x}-\frac{3}{40(x+5)}+\frac{5}{24(x-3)}$, যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ ।