সৃজনশীলঃ ‘A(p,q,r)=(p+q+r)(pq+qr+rp) একটি বহুপদী…’ সিলেট বোর্ড ২০২৩ – বীজগাণিতিক রাশি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $A(p,q,r)=(p+q+r)(\mathrm{pq}+\mathrm{qr}+\mathrm{rp})P(p,q,r)=\mathrm{pqr}$ হলে, 
$\mathrm{pqr}=(p+q+r)(\mathrm{pq}+\mathrm{qr}+\mathrm{rp})$
বা, $(p+q+r)(pq+qr+rp)-pqr=0$
বা, $p(pq+qr+rp)+q(pq+qr+rp)+r(pq+qr+rp)-pqr=0$
বা, $p^{2}q+pqr+r{p}^2+p{q}^2+q^{2}r+pqr+pqr+q{r}^2+r^{2}p-pqr=0$
বা, $p^{2}q+pqr+r{p}^2+p{q}^2+q^{2}r+pqr+q{r}^2+r^{2}p=0$
বা, $pq(p+q)+qr(p+q)+rp(p+q)+r^2(p+q)=0$ 

বা, $(p+q)(pq+qr+rp+r^2)=0$
বা, $(p+q)\left\{q\right(r+p)+r(r+p\left)\right\}=0$
বা, $(p+q)(q+r)(r+p)=0$ 

হয়, $(p+q)=0$ 

$\therefore p=-q$ 

অথবা, $(q+r)=0$
বা, $q=-r$ 

অথবা, $r+p=0$
বা, r=-p 

এখন, $p=-q$ হলে, 

বামপক্ষ $=\frac{1}{(p+q+r{)}^3}$ 

$=\frac{1}{(-q+q+r{)}^5}=\frac{1}{r^5}$ 

ডানপক্ষ $=\frac{1}{p^3}+\frac{1}{q^3}+\frac{1}{r^3}$ 

দেওয়া আছে, $Q\left(x\right)=\frac{2x^4}{x^4-16}=\frac{2x^4}{{\left(x^2\right)}^2-4^2}=\frac{2x^4}{(x^2+4)(x^2-4)}$

$=\frac{2x^4}{(x^2+4)(x+2)(x-4)}$

ধরি, $\frac{2x^4}{(x^2+4)(x+2)(x-2)}\equiv 2+\frac{Ax+B}{(x^2+4)}+\frac{C}{x+2}+\frac{D}{x-2}$
(1) নং সমীকরণের উভয়পক্ষকে $(x^2+4)(x+2)(x-2)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$\begin{array}{c}2x^4\equiv 2(x^2+4)(x+2)(x-2)+(Ax+B)(x+2)(x-2)\\ +C(x^2+4)(x-2)+D(x^2+4)(x+2)\end{array}$

(2) নং এর উভয়পক্ষে পর্যায়ক্রমে, $x=-2,2$ বসিয়ে পাই,

$\begin{array}{cc}& 2(-2{)}^4=2\times 0+(Ax+B)\times 0+C(4+4\left)\right(-2-2)+D\times 0\\ & 32=C\times (-32)\end{array}$

বা, $C=\frac{32}{-32}=-1$

$2\times 2^4=2\times 0+(Ax+B)\times 0+C\times 0+D(4+4)(2+2)$

বা, $32=0+0+0+D\times 32$
বা, $D=\frac{32}{32}=1$
আবার, (2) নং হতে, $x^3,x^2$ এর সহগ সমকৃত করে পাই,

$0=0+A+C+D$

বা, $0=A+1-1$

$\begin{array}{cc}\therefore & A=0\\ & 0=B-2C+2D\end{array}$

বা, $0=B-2(-1)+2\times 1[\because C=-1,D=1]$
বা, $0=B+2+2$
বা, $0=B+4$

$\therefore B=-4$

এখন, A, B, C এবং D এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

 $\frac{2x^4}{(x^2+4)(x+2)(x-2)}\equiv 2+\frac{0\cdot x-4}{x^2+4}+\frac{-1}{x+2}+\frac{1}{x-2}$ 

$\equiv 2-\frac{4}{x^2+4}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x-2}$, যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।