সৃজনশীলঃ ‘f(x)=3x−23x+4 এবং g(y)=(y−2)(y2+3)…’ দিনাজপুর বোর্ড ২০২৪ – বীজগাণিতিক রাশি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

ধরি, $x_1,x_2\in$ ডোম $f$

$f\left(x\right)$ এক-এক ফাংশন হবে যদি ও কেবল যদি যেকোনো $x_1,x_2\in$ ডোম f এর জন্য $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$ হলে $x_1=x_2$ হয়।

এখন, $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$

বা, $\frac{3x_1-2}{3x_1+4}=\frac{3x_2-2}{3x_2+4}$

বা, $9x_1{x}_2-6x_1+12x_2-8=9x_1{x}_2+12x_1-6x_2-8$

বা, $-18x_1=-18x_2\therefore x_1=x_2$

∴ $f\left(x\right)$ ফাংশনটি এক-এক ফাংশন। (যাচাই করা হলো)

দেওয়া আছে, $g\left(y\right)=(y-2)(y^2+3)$

$\therefore \frac{y}{g\left(y\right)}=\frac{y}{(y-2)(y^2+3)}$

ধরি, $\frac{y}{(y-2)(y^2+3)}\equiv \frac{A}{y-2}+\frac{By+C}{y^2+3}$ ....... (i)

(i) নং এর উভয়পক্ষে $(y-2)(y^2+3)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$y=A(y^2+3)+(By+C)(y-2)$ ....... (ii)

বা, $y=A{y}^2+3A+B{y}^2-2By+Cy-2C$

$\therefore y=(A+B)y^2+(C-2B)y+3A-2C\dots \dots \left(iii\right)$

(ii) নং এ $y=2$ বসিয়ে, $2=A\cdot (2^2+3)+0$

বা, $7A=2\therefore A=\frac{2}{7}$

(iii) নং এর উভয়পক্ষ হতে $y^2$ এবং y পদের সহগ সমীকৃত করে পাই,

$A+B=0$

বা, $B=-A\therefore B=-\frac{2}{7}$

এবং $C-2B=1$

বা, $C+\frac{4}{7}=1$

বা, $C=1-\frac{4}{7}\therefore C=\frac{3}{7}$

$A,B$ ও C এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

$\frac{y}{(y-2)(y^2+3)}\equiv \frac{\frac{2}{7}}{y-2}+\frac{(-\frac{2}{7})y+\frac{3}{7}}{y^2+3}=\frac{2}{7(y-2)}+\frac{3-2y}{7(y^2+3)};$

এটিই নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ। (Ans.)