সৃজনশীলঃ ‘f(x)=4x−9x−2 এবং A=2×3(x−1)(x−2)(x−3)…’ যশোর বোর্ড ২০২৪ – বীজগাণিতিক রাশি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\frac{4x-9}{x-2}$

ধরি, $y=f\left(x\right)$

বা, $y=\frac{4x-9}{x-2}$

বা, $xy-2y=4x-9$ বা, $xy-4x=2y-9$

বা, $x(y-4)=2y-9$ বা, $x=\frac{2y-9}{y-4}$

$\therefore f^{-1}\left(y\right)=\frac{2y-9}{y-4}[\because y=f(x)\therefore x=f^{-1}(y\left)\right]$

$\therefore f^{-1}(-3)=\frac{2\times (-3)-9}{-3-4}=\frac{-6-9}{-7}=\frac{15}{7}\text{ (Ans.) }$

দেওয়া আছে, $A=\frac{2x^3}{(x-1)(x-2)(x-3)}$

$=\frac{2(x-1)(x-2)(x-3)+2x^3-2(x-1)(x-2)(x-3)}{(x-1)(x-2)(x-3)}$

$=2+\frac{2x^3-2(x^2-3x+2)(x-3)}{(x-1)(x-2)(x-3)}$

$=2+\frac{2x^3-(2x^2-6x+4)(x-3)}{(x-1)(x-2)(x-3)}$

$=2+\frac{2x^3-(2x^3-6x^2+4x-6x^2+18x-12)}{(x-1)(x-2)(x-3)}$

$=2+\frac{2x^3-2x^3+6x^2-4x+6x^2-18x+12}{(x-1)(x-2)(x-3)}$

$=2+\frac{12x^2-22x+12}{(x-1)(x-2)(x-3)}$

ধরি, $\frac{12x^2-22x+12}{(x-1)(x-2)(x-3)}\equiv \frac{D}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-3}$ (i)

(i) নং সমীকরণের উভয়পক্ষকে $(x-1)(x-2)(x-3)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$12x^2-22x+12\equiv D(x-2)(x-3)+B(x-1)(x-3)+C(x-1)(x-2)$

বা, $12x^2-22x+12\equiv D(x^2-5x+6)+B(x^2-4x+3)+C(x^2-3x+2)$

বা, $12x^2-22x+12\equiv (D+B+C)x^2+(-5D-4B-3C)x+6D+3B+2C$ ......... (ii)

(ii) নং সমীকরণের উভয়পক্ষে যথাক্রমে $x^2,x$ ও ধ্রুবক পদের সহগ

সমীকৃত করে পাই, $D+B+C=12\dots \dots \left(iii\right)$

$-5D-4B-3C=-22$ ........ (iv)

$6D+3B+2C=12$ ........ (v)

(iv) হতে পাই, $-5D-5B-5C+B+2C=-22$

বা, $-5(D+B+C)+B+2C=-22$

বা, $-60+B+2C=-22$ [(iii) হতে]

$\therefore B+2C=38\dots \dots \dots \left(vi\right)$

(v) হতে পাই, $6D+6B+6C-3B-4C=12$

বা, $6(D+B+C)-3B-4C=12$

বা, $72-3B-4C=12[\because$ (iii) হতে $]$

$\therefore 3B+4C=60\dots \dots \dots \text{ (vii) }$

(vii) $-2\times ($ vi $)$ হতে, $3B+4C-2B-4C=-16\therefore B=-16$

(vi) হতে, $-16+2C=38$

বা, $2C=54\therefore C=27$

(iii) হতে, $D-16+27=12\therefore D=1$

D, B ও C এর মান (i) নং সমীকরণের বসিয়ে পাই,

$A=2+\frac{D}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-3}$

$\therefore \frac{2x^3}{(x-1)(x-2)(x-3)}=2+\frac{1}{x-1}-\frac{16}{x-2}+\frac{27}{x-3}$

যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ। (Ans.)