সৃজনশীলঃ ‘f:R−{5}→R,f(x)=x−3x+5এবং P(x)=2x+4(x−1)(x2+2)…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২৪ – বীজগাণিতিক রাশি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $f\left(x\right)=\frac{x-3}{x+5}$

$f\left(x\right)$ ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত হবে যদি ও কেবল যদি

$x+5\ne 0$

বা, $x\ne -5$ হয়।

ধরি, $y=f\left(x\right)$

$\therefore x=f^{-1}\left(y\right)\dots \dots \left(i\right)$

তাহলে, $y=\frac{x-3}{x+5}$

বা, $xy+5y=x-3$

বা, $xy-x=-5y-3$

বা, $x(y-1)=-5y-3$

বা, $x=\frac{-5y-3}{y-1}$

বা, $f^{-1}\left(y\right)=\frac{-5y-3}{y-1}$

$\therefore f^{-1}\left(x\right)=\frac{-5x-3}{x-1}$

$f^{-1}\left(x\right)$ সংজ্ঞায়িত হবে যদি ও কেবল যদি $x-1\ne 0$ বা, $x\ne 1$ হয়।

∴ ডোম $f^{-1}=$ রেঞ্জ $F=R-\left\{1\right\}$

কিন্তু কোডোমেন $F=R$

∴ রেঞ্জ $\ne$ কোডোমেন

তাই ফাংশনটি সার্বিক ফাংশন নয়। (যাচাই করা হলো)

দেওয়া আছে, $P\left(x\right)=\frac{2x+4}{(x-1)(x^2+2)}$

ধরি, $\frac{2x+4}{(x-1)(x^2+2)}\equiv \frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+2}$ ........ (i)

বা, $2x+4\equiv A(x^2+2)+(\mathrm{Bx}+C)(x-1)$ ........ (ii)

$\therefore 2x+4\equiv (A+B)x^2+(C-B)x+2A-C$ ........ (iii)

(ii) নং $\Omega x=1$ বসিয়ে, $2+4=A(1+2)+0$

বা, $6=3A\therefore A=2$

(iii) নং হতে, $x^2,x$ ও ধ্রুবপদের সহগ সমীকৃত করে পাই, $A+B=0$

বা, $B=-A\therefore B=-2$

আবার, $C-B=2$

বা, $C+2=2\therefore C=0$

$A,B$ ও C এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

$\frac{2x+4}{(x-1)(x^2+2)}\equiv \frac{2}{x-1}+\frac{-2x+0}{x^2+2}$

$=\frac{2}{x-1}-\frac{2x}{x^2+2}$; এটিই নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ। (Ans.)