সৃজনশীলঃ ‘P(a,b,c)=(a+b+c)(ab+bc+ca)−abcএবং G(x)=x(x−1)(x2+4).…’ বগুড়া ক্যান্টনমেন্ট পাবলিক স্কুল ও কলেজ ২০২৫ – বীজগাণিতিক রাশি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $G\left(x\right)=\frac{x}{(x-1)(x^2+4)}$
ধরি, $\frac{x}{(x-1)(x^2+4)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x^2+4}$$...\left(1\right)$
(1)নং এর উভয়পক্ষে $(x-1)(x^2+4)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$x\equiv A(x^2+4)+(Bx+C)(x-1)$$...\left(2\right)$

(2)নং এর উভয়পক্ষে $x=1$ বসিয়ে পাই,

$1=A(1+4)+(B+C)\cdot 0$

বা, $1=5A+0$

$\therefore A=\frac{1}{5}$

(2)নং এর উভয়পক্ষ হতে $x^2$ ও $x$ এর সহগ সমীকৃত করে পাই,

$0=A+B$

বা, $B=-A$

$\therefore B=-\frac{1}{5}$

আবার, 1 = C - B
বা, $1=C+\frac{1}{5}$
বা, $C=1-\frac{1}{5}$

$\therefore C=\frac{4}{5}$

A, B, C এর মান (1)নং এ বসিয়ে পাই,

$\frac{x}{(x-1)(x^2+4)}\equiv \frac{\frac{1}{5}}{x-1}+\frac{-\frac{1}{5}x+\frac{4}{5}}{x^2+4}=\frac{1}{5(x-1)}-\frac{x-4}{5(x^2+4)}$

$\therefore G\left(x\right)\equiv \frac{1}{5(x-1)}-\frac{x-4}{5(x^2+4)}$; ইহাই নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।

দেওয়া আছে, $P(a,b,c)=(a+b+c)(\mathrm{ab}+\mathrm{bc}+\mathrm{ca})-\mathrm{abc}$ 

$P(a,b,c)=0$ হলে, $(a+b+c)(\mathrm{ab}+\mathrm{bc}+\mathrm{ca})-\mathrm{abc}=0$ 

$\therefore (a+b+c)(ab+bc+ca)=abc$ 

ডানপক্ষ $=a^3+b^3+c^3$ 

$\begin{array}{c}=(a^3+b^3+c^3-3abc)+3abc\\ =(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)\\ +3(a+b+c)(ab+bc+ca)\\ =(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca+3ab+3bc+3ca)\\ =(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca)\end{array}$ 

$=(a+b+c)(a+b+c{)}^2=(a+b+c{)}^3=$ বামপক্ষ 

$\therefore (a+b+c{)}^3=a^3+b^3+c^3$. (দেখানো হলো)