সৃজনশীলঃ ‘নিচের চিত্র লক্ষ…’ বরিশাল বোর্ড ২০২৩ – জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

বিশেষ নির্বচন: দেওয়া আছে, MN ব্যাসের উপর MNSR একটি অর্ধবৃত্ত। MS ও NR জ্যাদ্বয় পরস্পর ০ বিন্দুতে ছেদ করেছে।

প্রমাণ করতে হবে যে, ${\mathrm{MN}}^2=\mathrm{MS}.\mathrm{OM}+\mathrm{RN}.\mathrm{ON}$।

অঙ্কন : M, R; N, S ও S, R যোগ করি।

প্রমাণ: $△\mathrm{SOR}$ ও $△\mathrm{OMN}$-এ

$\angle \mathrm{ORS}=\angle \mathrm{OMN}$ [একই চাপ NS-এর উপর অবস্থিত]

এবং $\angle \mathrm{ROS}=\angle \mathrm{MON}$ [বিপ্রতীপ কোণ বলে]

∴ ত্রিভুজ দুইটি সদৃশকোণী

∴ ত্রিভুজদ্বয় সৃদশ।

$\frac{\mathrm{MO}}{\mathrm{RO}}=\frac{\mathrm{NO}}{\mathrm{SO}}$

বা, $MO.SO=NO.RO$

বা, $\mathrm{MO}\cdot \mathrm{SO}+{\mathrm{MO}}^2=\mathrm{NO}\cdot \mathrm{RO}+{\mathrm{MO}}^2$ [উভয়পক্ষে ${\mathrm{MO}}^2$ যোগ করে]

বা, $\mathrm{MO}(\mathrm{SO}+\mathrm{MO})=\mathrm{NO}\cdot \mathrm{RO}+{\mathrm{RO}}^2+{\mathrm{MR}}^2$

$[\mathrm{MN}$ ব্যাস বলে $\angle \mathrm{MRO}=\angle \mathrm{MRN}={90}^{\circ }]$

$\therefore {\mathrm{MO}}^2={\mathrm{MR}}^2+{\mathrm{RO}}^2]$

বা, $\mathrm{MO}\cdot \mathrm{MS}=\mathrm{RO}(\mathrm{NO}+\mathrm{RO})+{\mathrm{MR}}^2$

বা, $\mathrm{MO}\cdot \mathrm{MS}=\mathrm{RO}\cdot \mathrm{NR}+{\mathrm{MN}}^2-{\mathrm{NR}}^2$

$[\angle \mathrm{MRN}={90}^{\circ }$ বলে $△\mathrm{MNR}-$ এ ${\mathrm{MN}}^2={\mathrm{MR}}^2+{\mathrm{NR}}^2$ বা, ${\mathrm{MR}}^2={\mathrm{MN}}^2-{\mathrm{NR}}^2]$

বা, $\mathrm{MO}.\mathrm{MS}={\mathrm{MN}}^2-\mathrm{NR}(\mathrm{NR}-\mathrm{RO})$

বা, $\mathrm{MO}.\mathrm{MS}={\mathrm{MN}}^2-\mathrm{NR}.\mathrm{NO}$

$\therefore {\mathrm{MN}}^2=\mathrm{MS}.\mathrm{OM}+\mathrm{RN}.\mathrm{ON}$ (প্রমাণিত)

এখানে, ABCD একটি বৃত্ত এবং এই বৃত্তে অন্তর্লিখিত ABCD চতুর্ভুজের AC ও BD দুইটি কর্ণ।

ABCD চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো যথাক্রমে AB ও CD এবং BC ও AD। প্রমাণ করতে হবে যে, AB.CD + AD.BC = AC.BD.

অঙ্কন :$\angle \mathrm{BAC}$ কে $\angle \mathrm{DAC}$ থেকে ছোট ধরে নিয়ে A বিন্দুতে AD রেখাংশের সাথে $\angle BAC$ এর সমান করে $\angle \mathrm{DAT}$ আঁকি যেন AT রেখা BD কর্ণকে $T$ বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রমাণ : অঙ্কন অনুসারে, $\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{DAT}$

বা, $\angle \mathrm{BAC}+\angle \mathrm{CAT}=\angle \mathrm{DAT}+\angle \mathrm{CAT}$ [ $\angle \mathrm{CAT}$ যোগ করে]

$\therefore \angle \mathrm{BAT}=\angle \mathrm{CAD}$

এখন, $△\mathrm{ABT}$ ও $△\mathrm{ACD}$ এর মধ্যে

$\angle \mathrm{BAT}=\angle \mathrm{CAD},\angle \mathrm{ABD}=\angle \mathrm{ACD}[\because$ একই বৃত্তাংশস্থিত কোণ সমান]

এবং অবশিষ্ট $\angle \mathrm{ATB}=$ অবশিষ্ট $\angle \mathrm{ADC}$

$\therefore △\mathrm{ABT}$ ও $△\mathrm{ACD}$ সদৃশকোণী।

$\therefore \frac{\mathrm{QT}}{\mathrm{RS}}=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PR}}$

অর্থাৎ $\mathrm{AC}\cdot \mathrm{BT}=\mathrm{AB}\cdot \mathrm{CD}$ ............ (i)

আবার, $△\mathrm{ABC}$ ও $△\mathrm{ATD}$ এর মধ্যে

$\angle \mathrm{BAC}=\angle \mathrm{DAT}$ [অঙ্কন অনুসারে]

$\angle \mathrm{ACB}=\angle \mathrm{ADT}[\because$ একই বৃত্তাংশস্থিত কোণ সমান]

এবং অবশিষ্ট $\angle \mathrm{ABC}=$ অবশিষ্ট $\angle \mathrm{ATD}$

$\therefore △\mathrm{ABC}$ ও $△\mathrm{ATD}$ সদৃশকোণী।

$\therefore \frac{\mathrm{PS}}{\mathrm{PR}}=\frac{\mathrm{ST}}{\mathrm{QR}}$

বা, $\mathrm{AC}\cdot \mathrm{DT}=\mathrm{BC}\cdot \mathrm{AD}$ ......... (ii)

(i) ও (ii) যোগ করে পাই, $\mathrm{AC}\cdot \mathrm{BT}+\mathrm{AC}\cdot \mathrm{DT}=\mathrm{AB}\cdot \mathrm{CD}+\mathrm{BC}\cdot \mathrm{AD}$

বা, $\mathrm{AC}(\mathrm{BT}+\mathrm{DT})=\mathrm{AB}\cdot \mathrm{CD}+\mathrm{BC}\cdot \mathrm{AD}$

বা, $\mathrm{AC}\cdot \mathrm{BD}=\mathrm{AB}\cdot \mathrm{CD}+\mathrm{BC}\cdot \mathrm{AD}$

$[\because \mathrm{BT}+\mathrm{DT}=\mathrm{BD}]$

$\therefore \mathrm{AC}\cdot \mathrm{BD}-\mathrm{AB}\cdot \mathrm{CD}=\mathrm{AD}\cdot \mathrm{BC}$ (প্রমাণিত)