সৃজনশীলঃ ‘△ABC এর BC,AC…’ বরিশাল বোর্ড ২০২৩ – জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

মনে করি, $△\mathrm{ABC}$ এর BN মধ্যমা AC বাহুকে সমদ্বিখণ্ডিত করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, ${\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2=2({\mathrm{AN}}^2+{\mathrm{BN}}^2)$.

অঙ্কন : B বিন্দু হতে $\mathrm{BE}\perp \mathrm{AC}$ আঁকি।

প্রমাণ : $△\mathrm{BNC}$ এর $\angle \mathrm{BNC}$ স্থূলকোণ এবং CN রেখার উপর BN এর লম্ব অভিক্ষেপ EN।

∴ স্থূলকোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি অনুসারে পাই,

${\mathrm{BC}}^2={\mathrm{BN}}^2+{\mathrm{CN}}^2+2\mathrm{CN}\cdot \mathrm{EN}$

আবার, $△\mathrm{BAN}$ এর $\angle \mathrm{BNA}$ সূক্ষ্মকোণ এবং AN রেখার উপর BN এর লম্ব অভিক্ষেপ EN।

∴ সূক্ষ্মকোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি অনুসারে পাই,

${\mathrm{AB}}^2={\mathrm{AN}}^2+{\mathrm{BN}}^2-2\mathrm{AN}\cdot \mathrm{EN}$

এখন, (i) ও (ii) নং যোগ করে পাই,

${\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2={\mathrm{BN}}^2+{\mathrm{CN}}^2+2\mathrm{CN}\cdot \mathrm{EN}+{\mathrm{BN}}^2+{\mathrm{AN}}^2-2\mathrm{AN}\cdot \mathrm{EN}$

$=2{\mathrm{BN}}^2+{\mathrm{AN}}^2+2\mathrm{AN}\cdot \mathrm{EN}+{\mathrm{AN}}^2-2\mathrm{AN}\cdot \mathrm{EN}$

$[\because \mathrm{AN}=\mathrm{CN}]$

$=2{\mathrm{BN}}^2+2{\mathrm{AN}}^2$

$\therefore {\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2=2({\mathrm{AN}}^2+{\mathrm{BN}}^2)$. (প্রমাণিত)

মনে করি, $△\mathrm{ABC}$-এ $\mathrm{AM},\mathrm{BN}$ ও CO মধ্যমা তিনটি পরস্পর $M$ বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করেছে এবং $\angle \mathrm{ABC}={90}^{\circ }$ । 

প্রমাণ করতে হবে যে, ${\mathrm{AC}}^2=\frac{2}{3}({\mathrm{AM}}^2+{\mathrm{BN}}^2+{\mathrm{CO}}^2)$

প্রমাণ: মনে করি, $\mathrm{BC}=a,\mathrm{AC}=b,\mathrm{AB}=c$

এবং $\mathrm{AM}=d,\mathrm{BN}=e,\mathrm{CO}=f$.

$△\mathrm{ABC}$ এর AM একটি মধ্যমা

$\therefore {\mathrm{AC}}^2+{\mathrm{AB}}^2=2({\mathrm{AM}}^2+{\mathrm{BM}}^2)$ [এ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য অনুসারে]

বা, $b^2+c^2=2\{d^2+{\left(\frac{1}{2}a\right)}^2\}$

$[\because BM=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}a]$

$=2d^2+2\times \frac{1}{4}{a}^2=2d^2+\frac{1}{2}{a}^2$

বা, $2(b^2+c^2)=4d^2+a^2$

বা, $4d^2=2(b^2+c^2)-a^2$

$\therefore d^2=\frac{2(b^2+c^2)-a^2}{4}$ ......... (i)

অনুরূপভাবে, $e^2=\frac{2(c^2+a^2)-b^2}{4}\dots \left(ii\right)$

এবং, $f^2=\frac{2(a^2+b^2)-c^2}{4}$ ......... (iii)

(i), (ii) ও (iii) নং যোগ করে পাই,

$d^2+e^2+f^2=\frac{2(b^2+c^2)-a^2}{4}+\frac{2(c^2+a^2)-b^2}{4}+\frac{2(a^2+b^2)-c^2}{4}$

বা, $4(d^2+e^2+f^2)=2b^2+2c^2+2a^2-a^2+2c^2-b^2+2a^2+2b^2-c^2$

বা, $4(d^2+e^2+f^2)=3(a^2+b^2+c^2)$

বা, $4({\mathrm{AM}}^2+{\mathrm{BN}}^2+{\mathrm{CO}}^2)=3({\mathrm{AC}}^2+{\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2)$ .......... (iv)

আবার, যেহেতু $\angle \mathrm{ABC}=$ এক সমকোণ এবং অতিভুজ $=\mathrm{AC}$

$\therefore {\mathrm{AC}}^2={\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{BC}}^2$ .......... (v)

এখন, (iv) ও (v) নং হতে পাই,

$4({\mathrm{AM}}^2+{\mathrm{BN}}^2+{\mathrm{CO}}^2)=3({\mathrm{AC}}^2+{\mathrm{AC}}^2)$

বা, $4({\mathrm{AM}}^2+{\mathrm{BN}}^2+{\mathrm{CO}}^2)=3\times 2{\mathrm{AC}}^2$

বা, $4({\mathrm{AM}}^2+{\mathrm{BN}}^2+{\mathrm{CO}}^2)=6{\mathrm{AC}}^2$

$\therefore {\mathrm{AC}}^2=\frac{2}{3}({\mathrm{AM}}^2+{\mathrm{BN}}^2+{\mathrm{CO}}^2)$ (প্রমাণিত)