সৃজনশীলঃ ‘চিত্রে L,QM এর…’ সিলেট বোর্ড ২০২৩ – জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

বিশেষ নির্বচন : দেওয়া আছে, PQS ত্রিভুজের QS বাহু M ও N বিন্দুতে তিনটি সমান অংশে বিভক্ত হয়েছে।

প্রমাণ করতে হবে যে, ${\mathrm{PQ}}^2+{\mathrm{PS}}^2={\mathrm{PM}}^2+{\mathrm{PN}}^2+4{\mathrm{MN}}^2$.

প্রমাণ: $△\mathrm{PQN}$-এ QM = MN [অঙ্কনানুসারে]

তাহলে, $\mathrm{PM},△\mathrm{PQN}$-এর মধ্যমা যা QN কে M বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

$\therefore P{Q}^2+P{N}^2=2P{M}^2+2M{N}^2.$ ....... (i)

আবার, PN, $\Delta$ PMS এর মধ্যমা যা MS কে N বিন্দুতে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

$\therefore {\mathrm{PS}}^2+{\mathrm{PM}}^2=2{\mathrm{PN}}^2+2{\mathrm{MN}}^2$ ....... (ii)

(i) ও (ii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

${\mathrm{PQ}}^2+{\mathrm{PS}}^2+{\mathrm{PN}}^2+{\mathrm{PM}}^2=2{\mathrm{PM}}^2+2{\mathrm{PN}}^2+4{\mathrm{MN}}^2$

বা, ${\mathrm{PQ}}^2+{\mathrm{PS}}^2=2{\mathrm{PM}}^2+2{\mathrm{PN}}^2+4{\mathrm{MN}}^2-{\mathrm{PN}}^2-{\mathrm{PM}}^2$

$\therefore {\mathrm{PQ}}^2+{\mathrm{PS}}^2={\mathrm{PM}}^2+{\mathrm{PN}}^2+4{\mathrm{MN}}^2$. (প্রমাণিত)

এখানে, O কেন্দ্রবিশিষ্ট PQRS একটি বৃত্ত এবং এই বৃত্তে অন্তর্লিখিত PQRS চতুর্ভুজের PR ও QS দুইটি কর্ণ। PQRS চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো যথাক্রমে PQ ও RS এবং QR ও PS।

প্রমাণ করতে হবে যে, $\mathrm{PR}\cdot \mathrm{QS}=\mathrm{PQ}\cdot \mathrm{RS}+\mathrm{QR}\cdot \mathrm{PS}$ ।

অঙ্কন : $\angle \mathrm{QPR}$ কে $\angle \mathrm{SPR}$ থেকে ছোট ধরে নিয়ে P বিন্দুতে PS রেখাংশের সাথে ∠QPR এর সমান করে $\angle \mathrm{SPT}$ আঁকি যেন PT রেখা QS কর্ণকে T বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রমাণ : অঙ্কন অনুসারে, $\angle \mathrm{QPR}=\angle \mathrm{SPT}$

বা, $\angle \mathrm{QPR}+\angle \mathrm{RPT}=\angle \mathrm{SPT}+\angle \mathrm{RPT}[\angle \mathrm{RPT}$ যোগ করে $]$

$\therefore \angle \mathrm{QPT}=\angle \mathrm{RPS}$

এখন, $△\mathrm{PQT}$ ও $△\mathrm{PRS}$ এর মধ্যে

$\angle \mathrm{QPT}=\angle \mathrm{RPS},\angle \mathrm{PQS}=\angle \mathrm{PRS}[\because$ একই বৃত্তাংশস্থিত কোণ সমান] এবং অবশিষ্ট $\angle \mathrm{PTQ}=$ অবশিষ্ট $\angle \mathrm{PSR}$

$\therefore △\mathrm{PQT}$ ও $△\mathrm{PRS}$ সদৃশকোণী।

$\therefore \frac{\mathrm{QT}}{\mathrm{RS}}=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PR}}$

অর্থাৎ $\mathrm{PR}\cdot \mathrm{QT}=\mathrm{PQ}\cdot \mathrm{RS}$ ......... (i)

আবার, $△\mathrm{PQR}$ ও $△\mathrm{PTS}$ এর মধ্যে

$\angle \mathrm{QPR}=\angle \mathrm{SPT}$ [অঙ্কন অনুসারে]

$\angle \mathrm{PRQ}=\angle \mathrm{PST}[\because$ একই বৃত্তাংশস্থিত কোণ সমান]

এবং অবশিষ্ট $\angle \mathrm{PQR}=$ অবশিষ্ট $\angle \mathrm{PTS}$

$\therefore △\mathrm{PQR}$ ও $△\mathrm{PTS}$ সদৃশকোণী।

$\therefore \frac{\mathrm{PS}}{\mathrm{PR}}=\frac{\mathrm{ST}}{\mathrm{QR}}$

বা, $\mathrm{PR}\cdot \mathrm{ST}=\mathrm{QR}\cdot \mathrm{PS}$ ......... (ii)

(i) ও (ii) যোগ করে পাই,

$\mathrm{PR}\cdot \mathrm{QT}+\mathrm{PR}\cdot \mathrm{ST}=\mathrm{PQ}\cdot \mathrm{RS}+\mathrm{QR}\cdot \mathrm{PS}$

বা, $\mathrm{PR}(\mathrm{QT}+\mathrm{ST})=\mathrm{PQ}\cdot \mathrm{RS}+\mathrm{QR}\cdot \mathrm{PS}$

$\therefore \mathrm{PR}\cdot \mathrm{QS}=\mathrm{PQ}\cdot \mathrm{RS}+\mathrm{QR}\cdot \mathrm{PS}[\because \mathrm{QT}+\mathrm{ST}=\mathrm{QS}]$

$\therefore \mathrm{PR}\cdot \mathrm{QS}=\mathrm{PQ}\cdot \mathrm{RS}+\mathrm{QR}\cdot \mathrm{PS}\cdot$ (প্রমাণিত)