সৃজনশীলঃ ‘বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ABCD…’ যশোর বোর্ড ২০২৩ – জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ABCD এর AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে P বিন্দুতে সমকোণে ছেদ করে। $\mathrm{PE}\perp \mathrm{BC}$ এবং EP এর বর্ধিতাংশ AD কে F বিন্দুতে ছেদ করেছে ।

প্রমাণ করতে হবে যে, $AF=FD.$

প্রমাণ : এখানে, বৃত্তের ব্যাস $=AC=BD$

বা, $\mathrm{AP}+\mathrm{PC}=\mathrm{BP}+\mathrm{PD}$

বা, $2\mathrm{AP}=2\mathrm{PD}[\mathrm{AP}=\mathrm{PC};\mathrm{BP}=\mathrm{PD}]$

$\therefore \mathrm{AP}=\mathrm{PD}\dots \dots \dots \text{ (i) }$

এখন, $△\mathrm{APF}$ এ,

${\mathrm{AP}}^2={\mathrm{AF}}^2+{\mathrm{FP}}^2$

আবার, $△\mathrm{DPF}$ এ,

${\mathrm{PD}}^2={\mathrm{FD}}^2+{\mathrm{FP}}^2$

(i) নং হতে পাই, ${\mathrm{AF}}^2+{\mathrm{FP}}^2={\mathrm{FD}}^2+{\mathrm{FP}}^2$

বা, ${\mathrm{AF}}^2={\mathrm{FD}}^2$

∴ AF = FD. (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, ABCD একটি চতুর্ভুজ যার AC ও BD কর্ণ সমকোণীভাবে পরস্পরকে P বিন্দুতে ছেদ করে অর্থাৎ $\angle \mathrm{APB}={90}^{\circ }$

অঙ্কন : BP এর মধ্যবিন্দু M । তাহলে BM = MP।

A, M যোগ করি।

প্রমাণ: এখন, $△\mathrm{APB}$ এ,

$A{B}^2=A{P}^2+B{P}^2$

$=A{P}^2+(BM+MP{)}^2$

$=A{P}^2+\left(2BM{)}^2\right[BM=MP]$

বা, ${\mathrm{AB}}^2={\mathrm{AP}}^2+4{\mathrm{BM}}^2$ ....... (i)

আবার, $△\mathrm{APM}$ এ,

${\mathrm{AM}}^2={\mathrm{AP}}^2+{\mathrm{PM}}^2$

বা, ${\mathrm{AM}}^2={\mathrm{AP}}^2+{\mathrm{BM}}^2[\mathrm{PM}=\mathrm{BM}]$

বা, ${\mathrm{AP}}^2={\mathrm{AM}}^2-{\mathrm{BM}}^2$

${\mathrm{AP}}^2$ এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

${\mathrm{AB}}^2={\mathrm{AM}}^2-{\mathrm{BM}}^2+4{\mathrm{BM}}^2$

$\therefore {\mathrm{AB}}^2={\mathrm{AM}}^2+3{\mathrm{BM}}^2$ (প্রমাণিত)