সৃজনশীলঃ ‘চিত্রে AB,BC এবং…’ যশোর বোর্ড ২০২৩ – জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

মনে করি, $△\mathrm{ABC}$ এর $\mathrm{BC},\mathrm{CA}$ এবং AB বাহুগুলো $a,b$ এবং c । মধ্যমা $\mathrm{BF}=e,\mathrm{AE}=d,\mathrm{CD}=f$

 এখন, ${\mathrm{AB}}^2+{\mathrm{AC}}^2=2({\mathrm{AE}}^2+{\mathrm{BE}}^2)$

[এ্যাপোলেনিয়াসের উপপাদ্য হতে পাই]

বা, $c^2+b^2=2\{d^2+{\left(\frac{1}{2}a\right)}^2\}[\therefore \mathrm{BE}=\frac{1}{2}a]$

বা, $b^2+c^2=2d^2+2\cdot \frac{1}{4}{a}^2$

বা, $b^2+c^2=2d^2+\frac{a^2}{2}$

বা, $2d^2=b^2+c^2-\frac{a^2}{2}$

বা, $d^2=\frac{2(b^2+c^2)-a^2}{4}\dots \dots \left(i\right)$

অনুরূপভাবে, $e^2=\frac{2(c^2+a^2)-b^2}{4}$ ....... (ii)

এবং $f^2=\frac{2(a^2+b^2)-c^2}{4}$ ....... (iii)

(i), (ii) ও (iii) নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

$d^2+e^2+f^2=\frac{2(b^2+c^2)-a^2}{4}+\frac{2(c^2+a^2)-b^2}{4}+\frac{2(a^2+b^2)-c^2}{4}$

বা, $d^2+e^2+f^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2+2c^2+2a^2-b^2+2a^2+2b^2-c^2}{4}$

এখন, $\mathrm{AB}=\mathrm{BC}$ বা, $c=a$

তাহলে, মধ্যমা $\mathrm{AE}=\mathrm{CD}$

বা, $d=f$ হবে।

বা, $d^2+e^2+d^2=\frac{2b^2+2a^2-a^2+2a^2+2a^2-b^2+2a^2+2b^2-a^2}{4}=\frac{3b^2+6a^2}{4}$

বা, $2d^2+e^2=\frac{3}{4}(b^2+2a^2)$

$\therefore 3(2a^2+b^2)=4(2d^2+e^2)$

ইহাই উক্ত দৈর্ঘ্য ও মধ্যমার মধ্যে সম্পর্ক।

বিশেষ নির্বচন : দেওয়া আছে, $△\mathrm{ABC}$ এ AB $=\mathrm{BC}$ । $\mathrm{BF}\perp \mathrm{AC}$ এবং ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ R ।

প্রমাণ করতে হবে যে, ${\mathrm{BC}}^2=2R.\mathrm{BF}$

অঙ্কন : BF কে বর্ধিত করি যেন তা পরিবৃত্তকে G বিন্দুতে ছেদ করে। A, G যোগ করি।

প্রমাণ : $△\mathrm{BFA}$ ও $△\mathrm{BAG}$ এ,

$\angle \mathrm{BFA}=\angle \mathrm{BAG}$ [উভয়েই সমকোণ]

$\angle \mathrm{GBA}=\angle \mathrm{GBA}$ [সাধারণ কোণ]

এবং অবশিষ্ট $\angle \mathrm{BAF}=$ অবশিষ্ট $\angle \mathrm{BGA}$

∴ ত্রিভুজদ্বয় সদৃশকোণী তথা সদৃশ।

$\frac{\mathrm{BF}}{\mathrm{BA}}=\frac{\mathrm{BA}}{\mathrm{BG}}$

[ ∴ সদৃশকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরূপ বাহুগুলোর অনুপাত সমান]

বা, ${\mathrm{BA}}^2=\mathrm{BF}.\mathrm{BG}$

বা, ${\mathrm{BC}}^2=\mathrm{BF}.\mathrm{BG}[\therefore \mathrm{AB}=\mathrm{BC}]$

সমকোণী $△\mathrm{BCF}$ ও $△\mathrm{BAF}$ এর মধ্যে অতিভূজ $\mathrm{AB}=$ অতিভূজ BC এবং BF সাধারণ বাহু

$\therefore △\mathrm{BCF}\cong △\mathrm{BAF}\therefore \mathrm{CF}=\mathrm{FA}$

অর্থাৎ, BF ⟂ AC এবং AF ও FC সমদ্বিখণ্ডক। BF জ্যাটি বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়। এবং BG বৃত্তের পরিধিকে স্পর্শ করে এজন্য BG বৃত্তের ব্যাস।

$\mathrm{BG}=2R$ হলে (i) নং এ পাই,

${\mathrm{BC}}^2=2R.\mathrm{BF}$ (প্রমাণিত)