সৃজনশীলঃ ‘চিত্রে, S পরিকেন্দ্র…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২৩ – জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

এখানে, $△\mathrm{PQR}$ এ QR এর মধ্যবিন্দু M হওয়ার PM একটি মধ্যমা।

প্রমাণ করতে হবে যে, ${\mathrm{PQ}}^2+{\mathrm{PR}}^2=2({\mathrm{PM}}^2+{\mathrm{MR}}^2)$.

প্রমাণ : চিত্রে, $\mathrm{PQ}>\mathrm{PM}>\mathrm{QM}$ । P বিন্দু হতে $\mathrm{PT}\perp \mathrm{QR}$.

$\therefore △\mathrm{PQM}$ এর $\angle \mathrm{PMQ}$ স্থূলকোণ এবং PM এর লম্ব অভিক্ষেপ MT.

∴ স্থূলকোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি অনুসারে পাই,

${\mathrm{PQ}}^2={\mathrm{PM}}^2+{\mathrm{QM}}^2+2\cdot \mathrm{QM}\cdot \mathrm{MT}$ .......... (i)

আবার, $△\mathrm{PMR}$ এর $\angle \mathrm{PMR}$ সূক্ষ্মকোণ এবং PM এর লম্ব অভিক্ষেপ MT.

∴ সূক্ষ্মকোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি অনুসারে পাই,

${\mathrm{PR}}^2={\mathrm{PM}}^2+{\mathrm{MR}}^2-2.\mathrm{MR}.\mathrm{MT}$ .......... (ii)

(i) ও (ii) নং যোগ করে পাই,

${\mathrm{PQ}}^2+{\mathrm{PR}}^2={\mathrm{PM}}^2+{\mathrm{QM}}^2+2\mathrm{QM}\cdot \mathrm{MT}+{\mathrm{PM}}^2+{\mathrm{MR}}^2-2\mathrm{MR}\cdot \mathrm{MT}$

$=2{\mathrm{PM}}^2+{\mathrm{MR}}^2+2\mathrm{MR}\cdot \mathrm{MT}+{\mathrm{QM}}^2-2\mathrm{MR}\cdot \mathrm{MT}$

$[\because \mathrm{MR}=\mathrm{QM}]$

বা, ${\mathrm{PQ}}^2+{\mathrm{PR}}^2=2{\mathrm{PM}}^2+2{\mathrm{MR}}^2$

$\therefore {\mathrm{PQ}}^2+{\mathrm{PR}}^2=2({\mathrm{PM}}^2+{\mathrm{MR}}^2).$ (প্রমাণিত)

এখানে, $△\mathrm{PQR}$ এর পরিকেন্দ্র S , লম্ববিন্দু O এবং PM একটি মধ্যমা। S, M যোগ করি। ফলে SM রেখা QR এর উপর লম্ব।

প্রমাণ করতে হবে যে, $\mathrm{PG}:\mathrm{GM}=2:1$

প্রমাণ :

$△\mathrm{PQR}$ এর লম্ববিন্দু O থেকে P শীর্ষের দূরত্ব OP এবং পরিকেন্দ্র S থেকে P শীর্ষের বিপরীত বাহু QR এর দূরত্ব SM ।

$\therefore \mathrm{OP}=2\mathrm{SM}$ [কোনো ত্রিভুজের লম্ববিন্দু থেকে শীর্ষের দূরত্ব ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র থেকে ঐ শীর্ষের বিপরীত বাহুর লম্বদূরত্বের দ্বিগুণ] এখন যেহেতু PT ও SM উভয়ই QR এর উপর লম্ব।

সেহেতু PT || SM.

এখন, $\mathrm{PT}\Vert \mathrm{SM}$ এবং PM এদের ছেদক।

$\therefore \angle \mathrm{MPT}=\angle \mathrm{PMS}$ [একান্তর কোণ]

অর্থাৎ $\angle \mathrm{OPG}=\angle \mathrm{SMG}$

এখন, $△\mathrm{PGO}$ ও $△\mathrm{MGS}$ এর মধ্যে

$\angle \mathrm{PGO}=\angle \mathrm{MGS}$ [বিপ্রতীপ কোণ]

$\angle \mathrm{OPG}=\angle \mathrm{SMG}$ [একান্তর কোণ]

এবং অবশিষ্ট $\angle \mathrm{POG}=\angle \mathrm{MSG}$

$\therefore △\mathrm{PGO}$ ও $△\mathrm{MGS}$ সদৃশকোণী।

$\therefore \frac{\mathrm{PG}}{\mathrm{GD}}=\frac{\mathrm{OP}}{\mathrm{SD}}$

বা, $\frac{\mathrm{PG}}{\mathrm{GD}}=\frac{2\mathrm{SD}}{\mathrm{SD}}$ $[\because \mathrm{OP}=2\mathrm{SM}]$

বা, $\frac{\mathrm{PG}}{\mathrm{GD}}=\frac{1}{2}$

$\therefore \mathrm{PG}:\mathrm{GM}=2:1$ (প্রমাণিত)