সৃজনশীলঃ ‘…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২৩ – জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

উত্তর:

ধরি, নববিন্দু বৃত্তের ব্যাসার্ধ r

প্রশ্নমতে, $2 π r = 20$

$∴ r = \frac{20}{2 π} = \frac{10}{π}$ সে.মি.

আমরা জানি, পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ নববিন্দু বৃত্তের ব্যাসার্ধের দ্বিগুণ।

সুতরাং, পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ $R = 2 r = 2 \times \frac{10}{π} = \frac{20}{π}$ সে.মি.

$∴$ পরিবৃত্তের ক্ষেত্রফল $= π R^{2} = π \times {(\frac{20}{π})}^{2}$ বর্গ সে.মি.

$= \frac{400}{π}$ বর্গ সে.মি.

$= 127.32$ বর্গ সে.মি. (Ans.)

উত্তর:

এখানে, ABCD বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের BD ও AC এর লম্ব ছেদবিন্দু P। PM ⟂ AD এবং বর্ধিত NP, BC কে N বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রমাণ করতে হবে যে, $BN = CN$ ।

প্রমাণ : একই চাপ CD এর উপর দণ্ডায়মান বলে, $∠ DAC = ∠ DBC$

অর্থাৎ, $∠ DAP = ∠ PBN$

আবার, $∠ DAP = ∠ DPM$ [উভয়ে একই $∠ APM$ এর পূরক কোণ]

সুতরাং, $∠ PBN = ∠ NPB$

ফলে PBN ত্রিভুজে, BN = PN

অনুরূপভাবে দেখানো $∠ NCP = ∠ ADP = ∠ APM = ∠ CPN$

ফলে PCN ত্রিভুজে, CN = PN

$∴ BN = CN$ (প্রমাণিত)

উত্তর:

এখানে, $△ PDA$ -এ $∠ DPA = 90^{\circ}$ এবং $PM ⊥ DA$ ।

প্রমাণ করতে হবে যে, ${PM}^{2}$ = AM.DM ।

প্রমাণ : $∠ DPA = 90^{\circ}$

$∴ ∠ DPM + ∠ MPA = 90^{\circ}$ ......... (i)

আবার, $PM ⊥ DA$ বলে, $∠ PMD = ∠ PMA = 90^{\circ}$

$△ DPM - ⇑, ∠ PMD + ∠ DPM + ∠ PDM = 180^{\circ}$

[ ∵ ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $180^{\circ}$ ]

বা, $90^{\circ} + ∠ DPM + ∠ PDM = 180 [∵ ∠ PMD = 90^{\circ}]$

বা, $∠ DPM + ∠ PDM = 90^{\circ}$ ........ (ii)

(i) ও (ii) নং হতে পাই,

$∴ ∠ DPM + ∠ MPA = ∠ DPM + ∠ PDM$

$△ PDM$ ও $△ PAM -$ এ

$∠ PMD = ∠ PMA, ∠ PDM = ∠ MPA$

অবশিষ্ট $∠ DPM =$ অবশিষ্ট $∠ PAM$

$∴ Δ PDM$ ও $△ PAM$ সদৃশ

$∴ \frac{DP}{PA} = \frac{PM}{AM} = \frac{DM}{PM}$

অর্থাৎ, $\frac{PM}{AM} = \frac{DM}{PM}$

$∴ {PM}^{2} = AM \cdot DM$ (প্রমাণিত)

💡 সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর