সৃজনশীলঃ ‘চিত্রে, PQRS একটি…’ ঢাকা বোর্ড ২০২৩ – জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

এখানে, PQRS একটি বৃত্ত এবং এই বৃত্তে অন্তর্লিখিত PQRS চতুর্ভুজের PR ও QS দুইটি কর্ণ। PQRS চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো যথাক্রমে PQ ও RS এবং QR ও PS। প্রমাণ করতে হবে যে, PR.QS = PQ.RS + PS.QR

অঙ্কন : ∠QPR কে ∠SPR থেকে ছোট ধরে নিয়ে P বিন্দুতে PS রেখাংশের সাথে ∠QPR এর সমান করে ∠SPT আঁকি যেন PT রেখা QS কর্ণকে T বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রমাণ : অঙ্কন অনুসারে, $\angle \mathrm{QPR}=\angle \mathrm{SPT}$

বা, $\angle \mathrm{QPR}+\angle \mathrm{RPT}=\angle \mathrm{SPT}+\angle \mathrm{RPT}[\angle \mathrm{RPT}$ যোগ করে]

$\therefore \angle \mathrm{QPT}=\angle \mathrm{RPS}$

এখন, $△\mathrm{PQT}$ ও $△\mathrm{PRS}$ এর মধ্যে

$\angle \mathrm{QPT}=\angle \mathrm{RPS},\angle \mathrm{PQS}=\angle \mathrm{PRS}[\because$ একই বৃত্তাংশস্থিত কোণ সমান] এবং অবশিষ্ট $\angle \mathrm{PTQ}=$ অবশিষ্ট $\angle \mathrm{PSR}$

$\therefore △\mathrm{PQT}$ ও $△\mathrm{PRS}$ সদৃশকোণী।

$\therefore \frac{\mathrm{QT}}{\mathrm{RS}}=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PR}}$

অর্থাৎ $\mathrm{PR}.\mathrm{QT}=\mathrm{PQ}.\mathrm{RS}$ ..............(i)

আবার, $△\mathrm{PQR}$ ও $△\mathrm{PTS}$ এর মধ্যে

$\angle \mathrm{QPR}=\angle \mathrm{SPT}[$ অঙ্কন অনুসারে$]$

$\angle \mathrm{PRQ}=\angle \mathrm{PST}[\because$একই বৃত্তাংশস্থিত কোণ সমান$]$

এবং অবশিষ্ট $\angle \mathrm{PQR}=$ অবশিষ্ট $\angle \mathrm{PTS}$

$\therefore △\mathrm{PQR}$ ও $△\mathrm{PTS}$ সদৃশকোণী।

$\therefore \frac{\mathrm{PS}}{\mathrm{PR}}=\frac{\mathrm{ST}}{\mathrm{QR}}$

বা, $\mathrm{PR}.\mathrm{ST}=\mathrm{QR}.\mathrm{PS}\dots \dots \dots \dots \dots ..........\left(\mathrm{ii}\right)$

(i) ও (ii) যোগ করে পাই,

$\mathrm{PR}.\mathrm{QT}+\mathrm{PR}.\mathrm{ST}=\mathrm{PQ}.\mathrm{RS}+\mathrm{QR}.\mathrm{PS}$

বা, $\mathrm{PR}(\mathrm{QT}+\mathrm{ST})=\mathrm{PQ}\cdot \mathrm{RS}+\mathrm{QR}\cdot \mathrm{PS}$

বা, $\mathrm{PR}.\mathrm{QS}=\mathrm{PQ}.\mathrm{RS}+\mathrm{QR}.\mathrm{PS}$

$[\because \mathrm{QT}+\mathrm{ST}=\mathrm{QS}]$

$\therefore \mathrm{PR}.\mathrm{QS}=\mathrm{PQ}.\mathrm{RS}+\mathrm{PS}.\mathrm{QR}$ (প্রমাণিত)

বিশেষ নির্বচন: $△PQS$ এর QA ও SB যথাক্রমে SP ও QP এর উপর লম্ব। দেখাতে হবে যে, $△PQS$ :

$△\mathrm{PAB}={\mathrm{PQ}}^2:{\mathrm{PA}}^2$।

অঙ্কন: A, B যোগ করি।

প্রমাণ: QS কে ব্যাস ধরে বৃত্ত অঙ্কন করলে তা A ও B বিন্দু দিয়ে যাবে। কেননা $\angle \mathrm{QAS}=\angle \mathrm{QBS}={90}^{\circ }$ এবং উহারা QS চাপের উপর অবস্থিত।

∴ QSAB বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ। বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একবাহু বর্ধিত করলে যে বহিঃস্থ কোণ উৎপন্ন হয় তা বিপরীত অন্তঃস্থ কোণের সমান।

$\therefore \angle \mathrm{PBA}=\angle \mathrm{PSQ}$

এবং $\angle \mathrm{PAB}=\angle \mathrm{PQS}$

$△\mathrm{PQS}$ ও $△\mathrm{PAB}$-এ

$\angle P$ সাধারণ কোণ এবং অপর কোণদ্বয় সমান।

$\therefore$ উহারা সদৃশ।

$\therefore \frac{\Delta \mathrm{PQS}}{\Delta \mathrm{PAB}}=\frac{{\mathrm{PQ}}^2}{{\mathrm{PA}}^2}$

$\therefore △\mathrm{PQS}:△\mathrm{PAB}={\mathrm{PQ}}^2:{\mathrm{PA}}^2$ (প্রমাণিত)