সৃজনশীলঃ ‘△PQR এর QR…’ বরিশাল বোর্ড ২০২৪ – জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

$△ P Q R$ এর $Q R$ বাহু $A$ ও $B$ বিন্দুতে সমান তিনটি অংশে বিভক্ত হয়েছে।

উত্তর:

দেওয়া আছে, $△ PQR$ এর $∠ PQR = 60^{\circ}$

প্রমাণ করতে হবে যে, ${PR}^{2} = {PQ}^{2} + {QR}^{2} - PQ \cdot QR$

অঙ্কন : $PE ⊥ QR$ আঁকি।

প্রমাণ: আমরা জানি, কোনো ত্রিভুজের সূক্ষ্মকোণের বিপরীত বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্র অপর দুই বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের সমষ্টি অপেক্ষা ঐ দুই বাহুর যেকোনো একটি ও তার ওপর অপরটির লম্ব অভিক্ষেপের অন্তর্গত আয়তক্ষেত্রের দ্বিগুণ পরিমাণ কম।

$∴ △ PQR$ এর $∠ PQR = 60^{\circ}$ , অর্থাৎ সূক্ষ্মকোণ এবং $QE, QR$ এর ওপর PQ এর লম্ব অভিক্ষেপ।

$∴ {PR}^{2} = {PQ}^{2} + {QR}^{2} - 2 QR \cdot QE$ ......... (i)

সমকোণী $△ PQE$ -এ লম্ব PE , ভূমি QE এবং অতিভুজ PQ

$∴ \cos ∠ PQE = \frac{QE}{PQ}$

বা, $\cos 60^{\circ} = \frac{QE}{PQ}$

$[∵ ∠ PQE = 60^{\circ}]$

বা, $\frac{1}{2} = \frac{QE}{PQ} ∴ QE = \frac{1}{2} PQ$

এখন, (i)নং-এ QE-এর মান বসিয়ে পাই,

${PR}^{2} = {PQ}^{2} + {QR}^{2} - 2 QR \cdot \frac{1}{2} PQ$

$∴ {PR}^{2} = {PQ}^{2} + {QR}^{2} - PQ \cdot QR$ (প্রমাণিত)

উত্তর:

বিশেষ নির্বচন : মনে করি, $△ PQB -$ এ $QA = AB$ এবং PA মধ্যমা QB বাহুকে A বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রমাণ করতে হবে যে, ${PQ}^{2} + {PB}^{2} = 2 ({AP}^{2} + {AB}^{2})$ অঙ্কন : QB বাহুর উপর $PT$ লম্ব অঙ্কন করি।

প্রমাণ : $△ PQA$ এর $∠ PAQ$ স্থূলকোণ এবং QA রেখার বর্ধিতাংশের উপর PA রেখার লম্ব অভিক্ষেপ $AT$ । স্থূলকোণের ক্ষেত্রে, পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি অনুসারে আমরা পাই,

${PQ}^{2} = {PA}^{2} + {QA}^{2} + 2 QA \cdot AT$ .......... (i)

এখানে, $△ PBA$ এর $∠ PAB$ সূক্ষ্মকোণ এবং AB রেখার উপর PA রেখার লম্ব অভিক্ষেপ $AT$ .

∴ সূক্ষ্মকোণের ক্ষেত্রে, পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি অনুসারে পাই, ${PB}^{2} = {PA}^{2} + {BA}^{2} - 2 BA \cdot AT$ ........ (ii)

এখন, সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই,

${PQ}^{2} + {PB}^{2} = {PA}^{2} + {QA}^{2} + 2 QA \cdot AT + {PA}^{2} + {BA}^{2} - 2 BA \cdot AT$

$= 2 {PA}^{2} + {QA}^{2} + {BA}^{2} + 2 QA \cdot AT - 2 BA \cdot AT$

$= 2 {PA}^{2} + {QA}^{2} + {QA}^{2} + 2 QA \cdot AT - 2 QA \cdot AT$

$[∵ QA = BA]$

$= 2 {PA}^{2} + 2 {QA}^{2} = 2 ({AP}^{2} + {AB}^{2})$ (প্রমাণিত)

উত্তর:

বিশেষ নির্বাচন : দেওয়া আছে, $△ PQR$ এর QR বাহু A ও B বিন্দুতে সমান তিনভাগে বিভক্ত হয়।

অর্থাৎ, $OA = AB = BR$ ।

$P, A$ ও $P, B$ যোগ করি। দেখাতে হবে যে, ${PQ}^{2} + {PR}^{2} = {PA}^{2} + {PB}^{2} + 4 {AB}^{2}$

প্রমাণ: $△ PQB$ এর মধ্যমা PA

∴ এ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্য অনুসারে,

${PQ}^{2} + {PB}^{2} = 2 ({PA}^{2} + {AB}^{2})$

আবার, $△ PAR$ এ মধ্যমা PB

$∴ {PA}^{2} + {PR}^{2} = 2 ({PB}^{2} + {AB}^{2})$

এখন, (i) ও (ii)নং সমীকরণ যোগ করে পাই,

$P Q^{2} + P B^{2} + P A^{2} + P R^{2} = 2 P A^{2} + 2 A B^{2} + 2 P B^{2} + 2 A B^{2}$

বা, $P Q^{2} + P R^{2} = 2 P A^{2} + 2 P B^{2} + 4 A B^{2} - P A^{2} - P B^{2}$

$∴ {PQ}^{2} + {PR}^{2} = {PA}^{2} + {PB}^{2} + 4 {AB}^{2}$ (দেখানো হলো)

A. Nayan

3 Jun 2026 (3 months ago)

সৃজনশীলঃ ‘△PQR এর QR…’ বরিশাল বোর্ড ২০২৪ – জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

💡 সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর

A. Nayan

3 Jun 2026 (3 months ago)

texthide = ""; texthide = texthide.substring(1) document.write(texthide);

সৃজনশীলঃ ‘△PQR এর QR…’ বরিশাল বোর্ড ২০২৪ – জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

💡 সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর