সৃজনশীলঃ ‘…’ সিলেট বোর্ড ২০২৪ – জ্যামিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

বিশেষ নির্বচন : মনে করি, বৃত্তে অন্তর্লিখিত PQRS চতুর্ভুজের বিপরীত বাহুগুলো যথাক্রমে PQ ও RS এবং QR ও PS। PR এবং QS চতুর্ভুজটির দুইটি কর্ণ।

প্রমাণ করতে হবে যে, $PR.QS=PQ.RS+QR.PS.$

অঙ্কন : $\angle \mathrm{QPR}$ কে $\angle \mathrm{SPR}$ থেকে ছোট ধরে নিয়ে P বিন্দুতে PS রেখাংশের সাথে ∠QPR-এর সমান করে $\angle \mathrm{SPM}$ আঁকি যেন PM রেখা QS কর্ণকে M বিন্দুতে ছেদ করে।

প্রমাণ : অঙ্কন অনুসারে $\angle \mathrm{QPR}=\angle \mathrm{SPM}$

উভয়পক্ষে $\angle \mathrm{RPM}$ যোগ করে পাই,

$\angle \mathrm{QPR}+\angle \mathrm{RPM}=\angle \mathrm{SPM}+\angle \mathrm{RPM}$

অর্থাৎ, $\angle \mathrm{QPM}=\angle \mathrm{RPS}$

এখন $△\mathrm{PQM}$ ও $△\mathrm{PRS}$ এর মধ্যে $\angle \mathrm{QPM}=\angle \mathrm{RPS}$

$\angle \mathrm{PQM}=\angle \mathrm{PRS}$ [একই বৃত্তাংশস্থিত কোণ সমান বলে]

এবং অবশিষ্ট $\angle \mathrm{PMQ}=$ অবশিষ্ট $\angle \mathrm{PSR}$

$\therefore △\mathrm{PQM}$ ও $△\mathrm{PRS}$ সদৃশকোণী।

$\therefore \frac{\mathrm{QM}}{\mathrm{RS}}=\frac{\mathrm{PQ}}{\mathrm{PR}}$

অর্থাৎ, $\mathrm{PR}.\mathrm{QM}=\mathrm{PQ}.\mathrm{RS}$ ............ (i)

আবার, $△\mathrm{PQR}$ ও $△\mathrm{PMS}$ এর মধ্যে

$\angle \mathrm{QPR}=\angle \mathrm{SPM}$ [অঙ্কন অনুসারে]

$\angle \mathrm{PRQ}=\mathrm{PSM}$ [একই বৃত্তাংশস্থিত কোণ সমান বলে]

এবং অবশিষ্ট $\angle \mathrm{PQR}=$ অবশিষ্ট $\angle \mathrm{PMS}$

$\therefore △\mathrm{PQR}$ ও $△\mathrm{PMS}$ সদৃশকোণী।

$\therefore \frac{\mathrm{PS}}{\mathrm{PR}}=\frac{\mathrm{MS}}{\mathrm{QR}}$

অর্থাৎ, PR.MS = QR.PS ............ (ii)

এখন সমীকরণ (i) ও (ii) যোগ করে পাই,

$=\mathrm{PR}.\mathrm{QM}+\mathrm{PR}.\mathrm{MS}=\mathrm{PQ}.\mathrm{RS}+\mathrm{QR}.\mathrm{PS}$

বা, $\mathrm{PR}(\mathrm{QM}+\mathrm{MS})=\mathrm{PQ}.\mathrm{RS}+\mathrm{QR}.\mathrm{PS}$

বা, $PR\cdot QS=PQ\cdot RS+QR\cdot PS$ [যেহেতু QM + MS = QS]

∴ PR.QS $=\mathrm{PQ}.\mathrm{RS}+\mathrm{QR}.\mathrm{PS}$ (প্রমাণিত)

বিশেষ নির্বচন : দেওয়া আছে,

$△\mathrm{QRE}$ এর $\angle E={90}^{\circ }$

$\mathrm{TE},\mathrm{RQ}$ এর উপর লম্ব।

প্রমাণ করতে হবে যে, ${\mathrm{ET}}^2=\mathrm{RT}.\mathrm{QT}$

প্রমাণ: $△\mathrm{QRE}-$ এ $\angle E={90}^{\circ }$

$\therefore \angle \mathrm{RET}+\angle \mathrm{TEQ}={90}^{\circ }$ .......... (i)

আবার, এ$△\mathrm{RTE}-এ\angle \mathrm{RTE}={90}^{\circ }$

$\therefore \angle \mathrm{ERT}+\angle \mathrm{RET}={90}^{\circ }$ .......... (ii)

(i) ও (ii) নং হতে পাই,

$\angle \mathrm{RET}+\angle \mathrm{TEQ}=\angle \mathrm{ERT}+\angle \mathrm{RET}$

$\therefore \angle \mathrm{TEQ}=\angle \mathrm{ERT}$

এখন, $△\mathrm{RTE}$ ও $△\mathrm{QTE}-$ এ $\angle \mathrm{RTE}=\angle \mathrm{QTE}={90}^{\circ }$

এবং $\angle \mathrm{ERT}=\angle \mathrm{TEQ}$

এবং অবশিষ্ট $\angle \mathrm{RET}=$ অবশিষ্ট $\angle \mathrm{EQT}$

সুতরাং ত্রিভুজ দুইটি সদৃশকোণী।

∴ ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ হওয়ায় $\frac{\mathrm{RT}}{\mathrm{ET}}=\frac{\mathrm{ET}}{\mathrm{QT}}$

অর্থাৎ, ${\mathrm{ET}}^2=$ RT.QT (প্রমাণিত)