সৃজনশীলঃ ‘(i) 1+13x−5+1(3x−5)2+1(3x−5)3+………(ii) 6+66+666+…………’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৩

(i) $1 + \frac{1}{3 x - 5} + \frac{1}{(3 x - 5)^{2}} + \frac{1}{(3 x - 5)^{3}} + \dots \dots \dots$

(ii) $6 + 66 + 666 + \dots \dots \dots$

উত্তর:

$3.0 \dot{2} = 3.022222 \dots \dots$

$= 3 + (0.02 + 0.002 + 0.0002 + \dots \dots)$

এখানে, বনধনীর অভ্যন্তরের ধারাটি একটি অসীম গুণোত্তর ধারা, যার ১ম পদ, $a = 0.02$

এবং সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{0.002}{0.02} = 0.1 < 1$

$∴ 3.0 \dot{2} = 3 + \frac{a}{1 - r}$

$= 3 + \frac{0.02}{1 - 0.1}$

$= 3 + \frac{0.02}{0.9}$

$= 3 + \frac{2}{90}$

$= \frac{136}{45}$

$∴$ নির্ণেয় মূলদীয় ভগ্নাংশ $\frac{136}{45}$ (Ans.)

উত্তর:

ধারাটি, 6 + 66 + 666 + ...........

মনে করি, $S = 6 + 66 + 666 +$ ........... n পদ পর্যন্ত

বা, S = 6 (1 + 11 + 111 + ........... n পদ পর্যন্ত)

বা, $\frac{S}{6} = 1 + 11 + 111 +$ ........... n পদ পর্যন্ত

বা, $\frac{9 S}{6} = 9 + 99 + 999 +$ ........... n পদ পর্যন্ত

বা, $\frac{9 S}{6} = (10 - 1) + (100 - 1) + (1000 - 1) +$ ........... n পর্যন্ত

বা, $\frac{9 S}{6} = (10 - 1) + (10^{2} - 1) + (10^{3} - 1) +$ ........... n পর্যন্ত

বা, $\frac{9 S}{6} = 10 + 10^{2} + 10^{3} +$ ........... n পদ পর্যন্ত - n

বা, $\frac{9 S}{6} = 10 (1 + 10 + 10^{2} +$ ........... $+ 10^{n - 1}) - n$

বা, $S = \frac{60}{9} (1 + 10 + 10^{2} +$ ........... $+ 10^{n - 1}) - \frac{6 n}{9}$

বা, $S = \frac{60}{9} \cdot \frac{10^{n} - 1}{10 - 1} - \frac{6 n}{9}$

বা, $S = \frac{20 (10^{n} - 1)}{27} - \frac{2 n}{3}$

বা, $S = \frac{2}{3} {\frac{10}{9} (10^{n} - 1) - n}$

$∴$ ধারাটির ১ম n পদের সমষ্টি $= \frac{2}{3} {\frac{10}{9} (10^{n} - 1) - n}$ (প্রমাণিত)

উত্তর:

প্রদত্ত অনন্ত গুণোত্তর ধারাটি :

$1 + \frac{1}{3 x - 5} + \frac{1}{(3 x - 5)^{2}} + \frac{1}{(3 x - 5)^{3}} + \dots \dots \dots$

অনন্ত গুণোত্তর ধারাটির ১ম পদ, $p = 1$

সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{\frac{1}{3 x - 5}}{1} = \frac{1}{3 x - 5}$

ধারাটিতে অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি $| r | < 1$ হয়

অর্থাৎ, $| \frac{1}{3 x - 5} | < 1$

$∴ - 1 < \frac{1}{3 x - 5} < 1$

হয়, $- 1 < \frac{1}{3 x - 5}$

বা, $- 1 > 3 x - 5$

বা, $- 1 + 5 > 3 x$

বা, $4 > 3 x$

$∴ x < \frac{4}{3}$

অথবা, $\frac{1}{3 x - 5} < 1$

বা, $3 x - 5 > 1$

বা, $3 x > 1 + 5$

$∴ x > 2$

$∴$ অসীমতক সমষ্টি, $S_{\infty} = \frac{p}{1 - r} = \frac{1}{1 - \frac{1}{3 x - 5}}$

$= \frac{1}{\frac{3 x - 5 - 1}{3 x - 5}} = \frac{3 x - 5}{3 x - 6}$

$∴$ নির্ণেয় শর্ত : $x < \frac{4}{3}$ এবং $x > 2$ এবং সমষ্টি $\frac{3 x - 5}{3 x - 6}$ (Ans.)

A. Nayan

3 Jun 2026 (3 months ago)

সৃজনশীলঃ ‘(i) 1+13x−5+1(3x−5)2+1(3x−5)3+………(ii) 6+66+666+…………’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৩ – অসীম ধারা, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

💡 সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর

A. Nayan

3 Jun 2026 (3 months ago)

texthide = ""; texthide = texthide.substring(1) document.write(texthide);

সৃজনশীলঃ ‘(i) 1+13x−5+1(3x−5)2+1(3x−5)3+………(ii) 6+66+666+…………’ চট্টগ্রাম বোর্ড ২০২৩ – অসীম ধারা, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

💡 সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর