সৃজনশীলঃ ‘1+(3x−1)−1+(3x−1)−2+………. একটি অনন্ত…’ কুমিল্লা বোর্ড ২০২৩ – অসীম ধারা, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $1+(3x-1{)}^{-1}+(3x-1{)}^{-2}+\dots \dots$ একটি অনন্ত গুণোত্তর ধারা $x=\frac{4}{3}$ হলে ধারাটি, $1+\frac{1}{(3\times \frac{4}{3}-1)}+\frac{1}{{(3\times \frac{4}{3}-1)}^2}+\dots \dots$

বা, $1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\dots \dots$

ধারাটি প্রথম পদ, $a=1$

সাধারণ অনুপাত, $r=\frac{1}{3}(r<1)$

ধারাটির $n$ পদের সমষ্টি, $S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$

$\therefore$ ধারাটির 10 পদের সমষ্টি $S_{10}=\frac{1\{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^{10}\}}{1-\frac{1}{3}}$

$=\frac{1-\frac{1}{3^{10}}}{\frac{3-1}{3}}=\frac{\frac{3^{10}-1}{3^{10}}}{\frac{2}{3}}=\frac{3^{10}-1}{3^{10}}\times \frac{3}{2}$

$=\frac{3^{10}-1}{2\times 3^9}$ (Ans.)

দেওয়া আছে, $1+(3x-1{)}^{-1}+(3x-1{)}^{-2}+\dots \dots$

বা, $1+\frac{1}{3x-1}+\frac{1}{(3x-1{)}^2}+\dots \dots$

একটি অনন্ত গুণোত্তর ধারা।

ধারাটির প্রথম পদ, $a=1$

সাধারণ অনুপাত, $r=\frac{\frac{1}{3x-1}}{1}=\frac{1}{3x-1}$

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি ও কেবল যদি $|r|<1$ হয় অর্থাৎ - $1<r<1$

এখন, $\frac{1}{3x-1}>-1$

বা, $3x-1<-1$

বা, $3x<-1+1$

বা, $3x<0\therefore x<0$

অথবা, $\frac{1}{3x-1}<1$

বা, $3x-1>1$

বা, $3x>1+1$

বা, $3x>2\therefore x>\frac{2}{3}$

$\therefore$ নির্ণেয় শর্ত $x<0$ অথবা, $x>\frac{2}{3}$

অসীমতক সমষ্টি, $S_{\infty }=\frac{a}{1-r}=\frac{1}{1-\frac{1}{3x-1}}$

$=\frac{1}{\frac{3x-2}{3x-1}}=\frac{3x-1}{3x-2}$

$\therefore$ অসীমতক সমষ্টি $\frac{3x-1}{3x-2}$ (Ans.)