সৃজনশীলঃ ‘(i) X=8+88+888+…..(ii) Y=5+103+209+4027+…..…’ ঢাকা বোর্ড ২০২৩ – অসীম ধারা, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $X=8+88+888+$$.....$

$X$ ধারাটির $n$ সংখ্যক পদের যোগফল, $S_n=8+88+888+......+n$ তম পদ 

$=8(1+11+111+\dots ..+n$ তম পদ

$=\frac{8}{9}(9+99+999+\dots \dots .+n$ তম পদ$)$

$=\frac{8}{9}\left\{\right(10-1)+(100-1)+(1000-1)+\dots ..+n$ তম পদ}

$=\frac{8}{9}\left\{\right(10+100+1000+\dots ..+n$ তম পদ $)-(1+1+1+\dots .+n$ তম পদ)} 

$=\frac{8}{9}\{(10+{10}^2+{10}^3+\dots \dots ..+n$ তম পদ $)-n\}$ 

$=\frac{8}{9}\{\frac{10({10}^n-1)}{10-1}-n\}=\frac{8}{9}\{\frac{10({10}^n-1)}{9}-n\}=\frac{80}{81}({10}^n-1)-\frac{8n}{9}$ 

নির্ণেয় X ধারাটির প্রথম n-সংখ্যক পদের সমষ্টি $\frac{80}{81}({10}^n-1)-\frac{8n}{9}$. 

প্রদত্ত ধারাটি $Y=5+\frac{10}{3}+\frac{20}{9}+\frac{40}{27}+$
এখানে, প্রথম পদ, $u_1=5=a$
দ্বিতীয় পদ, $u_2=\frac{10}{3}$
∴ সাধারণ অনুপাত, $r=\frac{u_2}{u_1}=\frac{\frac{10}{3}}{5}=\frac{10}{3}\times \frac{1}{5}=\frac{2}{3}<1$
∴ ধারাটি অসীম গুণোত্তর ধারা।
∴ প্রদত্ত ধারাটির $n$ তম পদ $=a{r}^{n-1}=5\times {\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-1}$
∴ ধারাটির সাধারণ পদ $=5{\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-1}$
যেহেতু, $r=\frac{2}{3}<1$, সেহেতু ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে।
∴ অসীমতক সমষ্টি, $S_{\infty }=\frac{a}{1-r}=\frac{5}{1-\frac{2}{3}}=\frac{5}{\frac{3-2}{3}}=\frac{5}{\frac{1}{3}}=5\times \frac{3}{1}=15$.
নির্ণেয় সাধারণ পদ $5\times {\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-1}$ এবং অসীমতক সমষ্টি 15 ।