সৃজনশীলঃ ‘(i) একটি অনন্ত…’ রাজশাহী বোর্ড ২০২৪ – অসীম ধারা, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, অনক্ত গুণোত্তর ধারাটির ১ম দুই পদের সমষ্টি $=\frac{3}{2}$

এবং অসীমতক সমষ্টি = 2

ধরি, ধারাটির ১ম পদ = a এবং সাধারণ অনুপাত = r

$\therefore$ ধারাটির ২য় পদ $=a{r}^{2-1}=ar$

শর্তমতে, $a+ar=\frac{3}{2}$

এবং $\frac{a}{1-r}=2$

বা, $a=2-2r$

বা, $2r=2-a$

বা, $r=\frac{2-a}{2}$

r এর মান (i) নং এ বসাইয়া পাই,

$a+a\cdot \frac{2-a}{2}=\frac{3}{2}$

বা, $\frac{2a+2a-a^2}{2}=\frac{3}{2}$

বা, $4a-a^2=3$

বা, $a^2-4a+3=0$

বা, $a^2-a-3a+3=0$

বা, $a(a-1)-3(a-1)=0$

বা, $(a-1)(a-3)=0$

হয়, $a-1=0$

বা, $a=1$

অথবা, $a-3=0$

বা, $a=3$

দেওয়া আছে, $A=4+44+444+$$\dots \dots .$

মনে করি, A ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি,

$S_n=4+44+444+\dots .+n$$\{$তম পদ $\}$

$=4(1+11+111+\dots ..+n\{$ তম পদ $\left\}\right)$

$=\frac{4}{9}(9+99+999+\dots \dots .+n\{$ তম পদ $\left\}\right)$

$=\frac{4}{9}\left\{\right(10-1)+(100-1)+(1000-1)+\dots ..+n\{$ তম পদ $\}$

তমপদ$=\frac{4}{9}\{10+100+1000+\dots ..+n\text{ তম পদ) }-(1+1+1+\dots .+n\{$ তম পদ $\left\}\right)\}$

$=\frac{4}{9}\{10+{10}^2+{10}^3+\dots \dots +n$ তম পদ $)-n\}$

$=\frac{4}{9}\{\frac{10({10}^n-1)}{10-1}-n\}$

$=\frac{4}{9}\{\frac{10({10}^n-1)}{9}-n\}=\frac{40}{81}({10}^n-1)-\frac{4n}{9}$

নির্ণেয় A ধারাটির প্রথম n-সংখ্যক পদের সমষ্টি $\frac{40}{81}({10}^n-1)-\frac{4n}{9}$.

a এর মান (ii) নং এ বসাইয়া পাই,

$a=1$ হলে, $r=\frac{2-1}{2}=\frac{1}{2}$

$a=3$ হলে,$r=\frac{2-3}{2}=-\frac{1}{2}$

$\therefore$ ধারাটির সাধারণ অনুপাত $:\frac{1}{2}$ অথবা $-\frac{1}{2}$