সৃজনশীলঃ ‘P=6+66+666+…….. এবং Q=(x+2)(x2+2x−3)…’ বরিশাল বোর্ড ২০২৫ – অসীম ধারা, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

প্রদত্ত ধারা : $6+66+666+\dots \dots .$.

ধারাটির n সংখ্যক পদের যোগফল,

$S_n=6+66+666+\dots .+n$ তম পদ

$=6(1+11+111+\dots ..+n$ তম পদ)

$=\frac{6}{9}(9+99+999+\dots .+n$ তম পদ )

$=\frac{2}{3}\left\{\right(10-1)+(100-1)+(1000-1)+\dots .+n$ তম পদ }

$=\frac{2}{3}\{10+100+1000+\dots ..+n$ তম পদ ) $-(1+1+1+\dots .+n$ তম পদ )}

$=\frac{2}{3}\{(10+{10}^2+{10}^3+\dots \dots .+n$ তম পদ $)-n)\}$

$=\frac{2}{3}\{\frac{10({10}^n-1)}{10-1}-n\}$

$=\frac{2}{3}\{\frac{10({10}^n-1)}{9}-n\}=\frac{20({10}^n-1)}{27}-\frac{2n}{3}$

নির্ণেয় ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের যোগফল $\frac{20({10}^n-1)}{27}-\frac{2n}{3}$.

দেওয়া আছে,

$Q=(x+2)(x^2+2x-3)$

$=(x+2)(x^2+3x-x-3)$

$=(x+2)\left\{x\right(x+3)-1(x+3\left)\right\}$

$=(x+2)(x+3)(x-1)$

$\therefore \frac{3x^3}{Q}=\frac{3x^3}{(x+2)(x+3)(x-1)}$

ধরি, $\frac{3x^3}{(x+2)(x+3)(x-1)}\equiv 3+\frac{A}{x+2}+\frac{B}{x+3}+\frac{C}{x-1}$ ...... (1)

(1) এর উভয়পক্ষকে $(x+2)(x+3)(x-1)$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$3x^3=-3(x+2)(x+3)(x-1)+A(x+3)(x-1)$

$+B(x+2)(x-1)+C(x+2)(x+3)$ ....... (2)

(2) এর উভয়পক্ষে পর্যায়ক্রমে $-2,-3,1$ বসিয়ে পাই,

$3(-2{)}^3=3(-2+2\left)\right(-2+3\left)\right(-2-1)+A(-2+3\left)\right(-2-1)$

$+B(-2+2)(-2-1)+C(-2+2)(-2+3)$

বা, $-24=0-3A+0+0$

বা, $-24=-3A$

বা, $3A=24$

$\therefore A=8$

$3(-3{)}^3=3(-3+2\left)\right(-3+3\left)\right(-3-1)+A(-3+3\left)\right(-3-1)$

$+B(-3+2)(-3-1)+C(-3+2)(-3+3)$

বা, $-81=0+0+4B+0$

বা, $4B=-81$

$\therefore B=-\frac{81}{4}$

এবং $3(1{)}^3=3(1+2\left)\right(1+3\left)\right(1-1)+A(1+3\left)\right(1-1)$

$+B(1+2)(1-1)+C(1+2)(1+3)$

বা, $3=0+0+0+12C$

বা, $12C=3$

বা, $C=\frac{3}{12}$

$\therefore C=\frac{1}{4}$

এখন, A, B, C এর মান (1)নং এ বসিয়ে পাই,

$\frac{3x^3}{(x+3)(x+2)(x-1)}\equiv 3+\frac{8}{x+2}+\frac{\frac{-81}{4}}{x+3}+\frac{\frac{1}{4}}{x-1}$

$\equiv 3+\frac{8}{x+2}-\frac{81}{4(x+3)}+\frac{1}{4(x-1)}$

যা নির্ণেয় আংশিক ভগ্নাংশ।