সৃজনশীলঃ ‘18x+1+1(8x+1)2+1(8x+1)3+…….. একটি অনন্ত…’ সিলেট বোর্ড ২০২৫ – অসীম ধারা, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

প্রদত্ত ধারাটির প্রথম পদ, $a=\frac{1}{8x+1}$

এবং সাধারণ অনুপাত $r=\frac{1}{(8x+1{)}^2}÷\frac{1}{8x+1}=\frac{1}{8x+1}$

ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি, $|r|<1$ হয়

অর্থাৎ - $1<r<1$ বা, $-1<\frac{1}{8x+1}<1$

এখন, $-1<\frac{1}{8x+1}$

বা, $-1>8x+1$

বা, $-1-1>8x$

বা, $-2>8x$

বা, $\frac{-2}{8}>x$ বা, $-\frac{1}{4}>x$

$\therefore x<-\frac{1}{4}$

এবং $\frac{1}{8x+1}<1$

বা, $8x+1>1$

বা, $8x>1-1$

বা, $8x>0$

বা, $x>0$

$\therefore$ শর্ত : $x>0$ অথবা $x<-\frac{1}{4}$

এবং অসীমতক সমন্টি, $S_{\alpha }=\frac{a}{1-r}=\frac{\frac{1}{8x+1}}{1-\frac{1}{8x+1}}=\frac{\frac{1}{8x+1}}{\frac{8x+1-1}{8x+1}}$

$=\frac{1}{8x+1}\times \frac{8x+1}{8x}=\frac{1}{8x}$

$\therefore$ অসীমতক সমষ্টি $=\frac{1}{8x}$.

দেওয়া আছে, $R=(2+y{)}^{\frac{1}{3}}+(2-y{)}^{\frac{1}{3}}$

এখন, $R=2^{\frac{2}{3}}$ হলে,

$(2+y{)}^{\frac{1}{3}}+(2-y{)}^{\frac{1}{3}}=2^{\frac{2}{3}}$

বা, ${\left\{\right(2+y{)}^{\frac{1}{3}}+(2-y{)}^{\frac{1}{3}}\}}^3={\left(2^{\frac{2}{3}}\right)}^3$ [উভয়পক্ষকে ঘন করে]

বা, ${\left\{\right(2+y{)}^{\frac{1}{3}}\}}^3+{\left\{\right(2-y{)}^{\frac{1}{3}}\}}^3-3(2+y{)}^{\frac{1}{3}}(2-y{)}^{\frac{1}{3}}\left\{\right(2+y{)}^{\frac{1}{3}}+(2-y{)}^{\frac{1}{3}}\}=2^2$

বা, $2+y+2-y-3\left\{\right(2+y\left)\right(2-y){\}}^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{2}{3}}=4$

বা, $4-{3.2}^{\frac{2}{3}}{\left\{(2^2-y^2)\right\}}^{\frac{1}{3}}=4$

বা, $-3\cdot 2^{\frac{2}{3}}{(4-y^2)}^{\frac{1}{3}}=4-4$

বা, $-{3.2}^{\frac{2}{3}}{(4-y^2)}^{\frac{1}{3}}=0$

বা, ${(4-y^2)}^{\frac{1}{3}}=0$

বা, $4-y^2=0$ [উভয়পক্ষকে ঘন করে]

বা, $y^2=4$

বা, $y=\pm \sqrt{4}$

$\therefore y=\pm 2$

নির্ণেয় সমাধান, $y=(2,-2)$.