সৃজনশীলঃ ‘(i) একটি ধারার…’ আইডিয়াল স্কুল অ্যান্ড কলেজ ২০২৬ – অসীম ধারা, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

প্রদত্ত (ii) নং ধারা : $6+66+666+\dots \dots .$.

ধারাটির n সংখ্যক পদের যোগফল,

$S_n=6+66+666+\dots .+n$ তম পদ

$=6(1+11+111+\dots ..+n$ তম পদ)

$=\frac{6}{9}(9+99+999+\dots .+n$ তম পদ )

$=\frac{2}{3}\left\{\right(10-1)+(100-1)+(1000-1)+\dots .+n$ তম পদ }

$=\frac{2}{3}\{10+100+1000+\dots ..+n$ তম পদ ) $-(1+1+1+\dots .+n$ তম পদ )}

$=\frac{2}{3}\{(10+{10}^2+{10}^3+\dots \dots .+n$ তম পদ $)-n)\}$

$=\frac{2}{3}\{\frac{10({10}^n-1)}{10-1}-n\}$

$=\frac{2}{3}\{\frac{10({10}^n-1)}{9}-n\}=\frac{20({10}^n-1)}{27}-\frac{2n}{3}$

নির্ণেয় ধারাটির প্রথম n সংখ্যক পদের যোগফল $\frac{20({10}^n-1)}{27}-\frac{2n}{3}$.

দেওয়া আছে, $U_n=(4x+5{)}^{-n}$

এখানে, $n=1$ হলে, ১ম পদ, $U_1=(4x+5{)}^{-1}=\frac{1}{4x+5}$

$n=2$ হলে, ২য় পদ, $U_2=(4x+5{)}^{-2}=\frac{1}{(4x+5{)}^2}$

$n=3$ হলে, ৩য় পদ, $U_3=(4x+5{)}^{-3}=\frac{1}{(4x+5{)}^3}$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

∴ ধারাটি হলো : $\frac{1}{4x+5}+\frac{1}{(4x+5{)}^2}+\frac{1}{(4x+5{)}^3}+\dots ..$.

এখানে, ধারাটির ১ম পদ, $a=\frac{1}{4x+5}$

এবং ধারাটির সাধারণ অনুপাত, $r=\frac{\frac{1}{(4x+5{)}^2}}{\frac{1}{4x+5}}$

$=\frac{1}{(4x+5{)}^2}\times \frac{(4x+5)}{1}$ 
$=\frac{1}{(4x+5)}$

এখন, ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি $|r|<1$ হয়।
অর্থাৎ $-1<r<1$
বা, $-1<\frac{1}{4x+5}<1$

এখন, $-1<\frac{1}{4x+5}$
বা, $-1>4x+5$ [বিপরীতকরণ করে]
বা, $4x+5<-1$
বা, $4x<-1-5$
বা, $4x<-6$
বা, $x<\frac{-6}{4}$
বা, $x<-\frac{3}{2}$

আবার, $\frac{1}{4x+5}<1$
বা, $4x+5>1$
বা, $4x>1-5$
বা, $4x>-4$
বা, $x>-\frac{4}{4}$

$\therefore x>-1$

$\therefore x<-\frac{3}{2}$ অথবা $x>-1$ শর্ত আরোপ করলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে।
∴ ধারাটির অসীমতক সমষ্টি, $S_{\infty }=\frac{a}{1-r}$

$=\frac{\frac{1}{4x+5}}{1-\frac{1}{4x+5}}=\frac{\frac{1}{4x+5}}{\frac{4x+5-1}{4x+5}}=\frac{\frac{1}{4x+5}}{\frac{4x+4}{4x+5}}$
$=\frac{1}{4x+5}\times \frac{4x+5}{4(x+1)}=\frac{1}{4(x+1)}$

নির্ণেয় শর্ত : $x<-\frac{3}{2}$ অথবা $x>-1$ এর সমষ্টি $\frac{1}{4(x+1)}$