সৃজনশীলঃ ‘12x+1+1(2x+1)2+1(2x+1)3+………… একটি ধারা।…’ ঢাকা রেসিডেনসিয়াল মডেল কলেজ ২০২৬ – অসীম ধারা, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

ক নং হতে,

যখন $x=\frac{1}{2}$, তখন প্রদত্ত ধারা : $\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+\dots \dots$.

১ম পদ, $a=\frac{1}{2}$

এবং সাধারণ অনুপাত, $r=\frac{1}{2}<1$

$\therefore$ ধারাটির ৫ম পদ $=a{r}^{n-1}$

$=a{r}^{5-1}$

$=a{r}^4=\frac{1}{2}\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^4=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2^4}=\frac{1}{2^5}$

$\therefore$ ধারাটির প্রথম পাঁচটি পদের সমষ্টি

$\begin{array}{cc}{S}_s& =a\frac{(1-r^5)}{(1-r)}\\ & =\frac{1}{2}\cdot \frac{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^5}{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times \frac{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^5}{\frac{1}{2}}\\ & =1-\frac{1}{2^5}=1-\frac{1}{32}=\frac{32-1}{32}=\frac{31}{32}\end{array}$

নির্ণেয় ৫ম পদ : $\frac{1}{2^3}$ এবং সমষ্টি $=\frac{31}{32}$.

প্রদত্ত ধারা : $\frac{1}{2x+1}+\frac{1}{(2x+1{)}^2}+\frac{1}{(2x+1{)}^3}+........$

ধারাটির ১ম পদ, $a=\frac{1}{2x+1}$

এবং সাধারণ অনুপাত, $r=\frac{\frac{1}{(2x+1{)}^2}}{\frac{1}{2x+1}}=\frac{1}{(2x+1{)}^2}\times \frac{(2x+1)}{1}=\frac{1}{2x+1}$

প্রদত্ত ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি |r| < 1 হয় ।

অর্থাৎ, $-1<r<1$ হয়

বা, $-1<\frac{1}{2x+1}<1$

এখন, $-1<\frac{1}{2x+1}$

বা, $-1>2x+1$ [বিপরীতকরণ করে]

বা, $2x+1<-1$

বা, $2x<-2$ [1 বিয়োগ করে]

বা, $x<-1$ [2 দ্বারা ভাগ করে]

$\therefore x<-1$

এবং $\frac{1}{2x+1}<1$

বা, $2x+1>1$ [বিপরীতকরণ করে]

বা, $2x>0$

$\therefore x>0$

$\therefore x<-1$ অথবা $x>0$ শর্ত আরোপ করলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে।

∴ প্রদত্ত ধারার অসীমতক সমষ্টি,

$\begin{array}{cc}{S}_{\infty }& =\frac{a}{1-r}=\frac{\frac{1}{2x+1}}{1-\frac{1}{2x+1}}=\frac{\frac{1}{2x+1}}{\frac{2x+1-1}{2x+1}}=\frac{\frac{1}{2x+1}}{\frac{2x}{2x+1}}\\ & =\frac{1}{2x+1}\times \frac{2x+1}{2x}=\frac{1}{2x}\end{array}$

নির্ণেয় শর্ত : $x<-1$ এবং $x>0$ এবং সমষ্টি $\frac{1}{2x}$.