সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প : 16x−1+1(6x−1)2+1(6x−1)3+……..…’ ফৌজদারহাট ক্যাডেট কলেজ ২০২৬

দৃশ্যকল্প : $\frac{1}{6 x - 1} + \frac{1}{(6 x - 1)^{2}} + \frac{1}{(6 x - 1)^{3}} + \dots \dots .$ . একটি অসীম ধারা।

উত্তর:

দেওয়া আছে, $f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}}$
$f (x) = \frac{1}{\sqrt{2 x - 1}} \in R$ হবে যদি এবং কেবল যদি $2 x - 1 > 0$
বা, $2 x > 1$ বা, $x > \frac{1}{2}$ হয়।

∴ ডোমেন, $f (x)$ ${x : x \in R$ এবং $x > \frac{1}{2}} = (\frac{1}{2}, \infty)$ .

উত্তর:

প্রদত্ত ধারা : $\frac{1}{6 x - 1} + \frac{1}{(6 x - 1)^{2}} + \frac{1}{(6 x - 1)^{3}} +$ ........

এখানে, ধারাটির প্রথম পদ, $a = \frac{1}{6 x - 1}$

সাধারণ অনুপাত, $r = \frac{\frac{1}{(6 x - 1)^{2}}}{\frac{1}{6 x - 1}} = \frac{1}{(6 x - 1)^{2}} \times (6 x - 1) = \frac{1}{6 x - 1}$

এখন, $x = \frac{5}{6}$ হলে, $a = r = \frac{1}{6 \times \frac{5}{6} - 1} = \frac{1}{5 - 1} = \frac{1}{4}$

ধারাটির 20 তম পদ $= a^{20 - 1}$

$= \frac{1}{4} {(\frac{1}{4})}^{20 - 1} = \frac{1}{4} \times {(\frac{1}{4})}^{19}$

$= \frac{1}{4} \times \frac{1}{4^{19}} = \frac{1}{4^{1 + 19}} = \frac{1}{4^{20}}$

এখানে, $r < 1$

∴ ধারাটির প্রথম 30 টি পদের সমষ্টি,

$S_{30} = a \cdot \frac{1 - x^{n}}{1 - r} = \frac{1}{4} \cdot (\frac{1 - {(\frac{1}{4})}^{30}}{1 - \frac{1}{4}})$

$= \frac{1}{4} (\frac{1 - \frac{1}{4^{30}}}{\frac{3}{4}}) = \frac{1}{4} \cdot \frac{4^{30} - 1}{4^{30}} \times \frac{4}{3} = \frac{4^{30} - 1}{3 \times 4^{30}} = \frac{1}{3} (1 - \frac{1}{4^{30}})$

উত্তর:

‘খ’ হতে পাই, $a = r = \frac{1}{6 x - 1}$ .

এখন, ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি, $| r | < 1$ হয় অর্থাৎ, -1 < r<1

বা, $- 1 < \frac{1}{6 x - 1} < 1$

এখন, $- 1 < \frac{1}{6 x - 1}$

বা, $- 1 > 6 x - 1$

বা, $6 x - 1 < - 1$

বা, $6 x < - 1 + 1$

বা, $6 x < 0$

$∴ x < 0$

আবার, $\frac{1}{6 x - 1} < 1$

বা, $6 x - 1 > 1$

বা, $6 x > 1 + 1$

বা, $6 x > 2$

বা, $x > \frac{2}{6} ∴ x > \frac{1}{3}$

সুতরাং, $x < 0$ অথবা $x > \frac{1}{3}$ শর্ত আরোপ করলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে।

∴ অসীমতক সমষ্টি, $S_{\infty} = \frac{a}{1 - r}$

$= \frac{\frac{1}{6 x - 1}}{1 - \frac{1}{6 x - 1}} = \frac{\frac{1}{6 x - 1}}{\frac{6 x - 1 - 1}{6 x - 1}} = \frac{\frac{1}{6 x - 1}}{\frac{6 x - 2}{6 x - 1}}$

$= \frac{1}{6 x - 1} \times \frac{6 x - 1}{6 x - 2} = \frac{1}{6 x - 2}$

নির্ণেয় শর্ত : $x < 0$ অথবা, $x > \frac{1}{3}$ এবং সমষ্টি $\frac{1}{6 x - 2}$ .

A. Nayan

3 Jun 2026 (3 months ago)

সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প : 16x−1+1(6x−1)2+1(6x−1)3+……..…’ ফৌজদারহাট ক্যাডেট কলেজ ২০২৬ – অসীম ধারা, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

💡 সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর

A. Nayan

3 Jun 2026 (3 months ago)

texthide = ""; texthide = texthide.substring(1) document.write(texthide);

সৃজনশীলঃ ‘দৃশ্যকল্প : 16x−1+1(6x−1)2+1(6x−1)3+……..…’ ফৌজদারহাট ক্যাডেট কলেজ ২০২৬ – অসীম ধারা, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

💡 সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর