সৃজনশীলঃ ‘x=sin⁡θ এবং y=cos⁡θ…’ বরিশাল বোর্ড ২০২৩ – ত্রিকোণমিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $x=\sin \theta$

$y=\cos \theta$

এখন, $15x^2+2y=7$

বা, $15{\sin }^2\theta +2\cos \theta =7$

বা, $15(1-{\cos }^2\theta )+2\cos \theta -7=0$

বা, $15-15{\cos }^2\theta +2\cos \theta -7=0$

বা, $15{\cos }^2\theta -2\cos \theta -8=0$

বা, $15{\cos }^2\theta -12\cos \theta +10\cos \theta -8=0$

বা, $3\cos \theta (5\cos \theta -4)+2(5\cos \theta -4)=0$

বা, $(5\cos \theta -4)(3\cos \theta +2)=0$

হয়, $5\cos \theta -4=0$

$\therefore \cos \theta =\frac{4}{5}$

অথবা, $3\cos \theta +2=0$

বা, $\cos \theta =-\frac{2}{3}$

যা গ্রহণযোগ্য নয় ।

বা, ${\cos }^2\theta =\frac{16}{25}$

বা, $1-{\sin }^2\theta =\frac{16}{25}$

বা, ${\sin }^2\theta =\frac{9}{25}\therefore \sin \theta =\pm \frac{3}{5}$

$\therefore \tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{\pm \frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=\pm \frac{3}{4}$

$\therefore \tan \theta =\pm \frac{3}{4}$. (Ans.)

দেওয়া আছে, $x=\sin \theta ,y=\cos \theta$

$2(y^2-x^2)-1=0$

বা, $2({\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta )-1=0$

বা, $2(1-{\sin }^2\theta -{\sin }^2\theta )-1=0$

বা, $2-4{\sin }^2\theta -1=0$

বা, $4{\sin }^2\theta -1=0$

বা, ${\sin }^2\theta =\frac{1}{4}\therefore \sin \theta =\pm \frac{1}{2}$

$\sin \theta$ ধনাত্মক (১ম ও ২য় চতুর্ভাগে)

১ম চতুর্ভাগে,

$\sin \theta =\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi }{6}$

$\therefore \theta =\frac{\pi }{6}$

২য় চতুর্ভাগে,

$\sin \theta =\sin (\pi -\frac{\pi }{6})$

$\sin \theta =\sin \frac{5\pi }{6}$

$\therefore \theta =\frac{5\pi }{6}$

sinθ ঋণাত্মক (৩য় ও ৪র্থ চতুর্ভাগে)

৩য় চতুর্ভাগে,

$\sin \theta =-\frac{1}{2}=-\sin \frac{\pi }{6}$

$\sin \theta =\sin (\pi +\frac{\pi }{6})$

$\therefore \theta =\frac{7\pi }{6}$

৪র্থ চতুর্ভাগে,

$\sin \theta =\sin (2\pi -\frac{\pi }{6})$

$\therefore \theta =\frac{11\pi }{6}$

∴ নির্ণেয় সমাধান : $\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6},\frac{7\pi }{6},\frac{11\pi }{6}$ (Ans.)