সৃজনশীলঃ ‘cot⁡θ+coseccθ=P এবং xcos⁡…’ সিলেট বোর্ড ২০২৩ – ত্রিকোণমিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে, $p=2$

এবং $\cot \theta +\mathrm{cosec}\theta =p$

বা, $\frac{\cos \theta }{\sin \theta }+\frac{1}{\sin \theta }=2$

বা, $\frac{\cos \theta +1}{\sin \theta }=2$

বা, ${\left(\frac{1+\cos \theta }{\sin \theta }\right)}^2=(2{)}^2$ [বর্গ করে]

বা, $\frac{(1+\cos \theta {)}^2}{{\sin }^2\theta }=4$

বা, $\frac{(1+\cos \theta {)}^2}{1-{\cos }^2\theta }=4$

বা, $\frac{(1+\cos \theta )(1+\cos \theta )}{(1+\cos \theta )(1-\cos \theta )}=4$

বা, $\frac{1+\cos \theta }{1-\cos \theta }=4$

বা, $\frac{1+\cos \theta +1-\cos \theta }{1+\cos \theta -1+\cos \theta }=\frac{4+1}{4-1}$ [যোজন-বিয়োজন করে]

বা, $\frac{2}{2\cos \theta }=\frac{5}{3}$

বা, $\frac{1}{\cos \theta }=\frac{5}{3}$

বা, $\sec \theta =\frac{5}{3}$

$\therefore \tan \theta =\sqrt{{\sec }^2\theta -1}=\sqrt{{\left(\frac{5}{3}\right)}^2-1}$

$=\sqrt{\frac{25}{9}-1}=\sqrt{\frac{25-9}{9}}=\sqrt{\frac{16}{9}}=\frac{4}{3}$

∴ বামপক্ষ $=\frac{\tan \theta +\sec \theta -1}{\tan \theta -\sec \theta +1}$

$=\frac{\frac{4}{3}+\frac{5}{3}-1}{\frac{4}{3}-\frac{5}{3}+1}$

$=\frac{\frac{4+5-3}{3}}{\frac{4-5+3}{3}}$

$=\frac{6}{3}\times \frac{3}{2}=3$

ডানপক্ষ $v=\tan \theta +\sec \theta$

$=\frac{4}{3}+\frac{5}{3}=\frac{4+5}{3}=\frac{9}{3}=3$

$\therefore \frac{\tan \theta +\sec \theta -1}{\tan \theta -\sec \theta +1}=\tan \theta +\sec \theta$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $x=3,y=-2\sin A$ এবং $z=0$

এবং $x\cos A-y\sin A=z$

বা, $3\cos A-(-2\sin A)\sin A=0[x,y,z$ এর মান বসিয়ে]

বা, $3\cos A+2{\sin }^{2}A=0$

বা, $2{\sin }^{2}A+3\cos A=0$

বা, $2(1-{\cos }^{2}A)+3\cos A=0$

বা, $2-2{\cos }^{2}A+3\cos A=0$

বা, $-2{\cos }^{2}A+3\cos A+2=0$

বা, $2{\cos }^{2}A-3\cos A-2=0$

বা, $2{\cos }^{2}A-4\cos A+\cos A-2=0$

বা, $2\cos A(\cos A-2)+1(\cos A-2)=0$

বা, $(\cos A-2)(2\cos A+1)=0$

হয়, $\cos A-2=0$

$\therefore \cos A=2$ [গ্রহণযোগ্য নয়, কারণ, $-1\le \cos A\le 1$ ]

অথবা, $2\cos A+1=0$

বা, $2\cos A=-1$

বা, $\cos A=-\frac{1}{2}$

বা, $\cos A=-\cos \frac{\pi }{3}$

বা, $\cos A=\cos (\pi -\frac{\pi }{3})$

বা, $\cos A=\cos \frac{3\pi -\pi }{3}\therefore A=\frac{2\pi }{3}$

আবার, $\cos A=-\cos \frac{\pi }{3}$

বা, $\cos A=\cos (\pi +\frac{\pi }{3})$

বা, $\cos A=\cos \frac{4\pi }{3}\therefore A=\frac{4\pi }{3}$

যেহেতু $0<A<2\pi$

∴ নির্ণেয় সমাধান, $A=\frac{2\pi }{3},\frac{4\pi }{3}$ (Ans.)