সৃজনশীলঃ ‘(i) sin⁡α+cos⁡α=p এবং…’ ঢাকা বোর্ড ২০২৩ – ত্রিকোণমিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

(i) $\sin α + \cos α = p$ এবং $\sec α + cosec α = q$ .

(ii) $a \cos θ - b \sin θ = c$

উত্তর:

$\sin^{2} 15^{\circ} + \sin^{2} 75^{\circ}$

$= \sin^{2} (90^{\circ} - 75^{\circ}) + \sin^{2} 75^{\circ}$

$= {\sin (90^{\circ} - 75^{\circ})}^{2} + {(\sin 75^{\circ})}^{2}$

$= {(\cos 75^{\circ})}^{2} + {(\sin 75^{\circ})}^{2}$

$= \sin^{2} 75^{\circ} + \cos^{2} 75^{\circ}$

= 1.(Ans.)

উত্তর:

দেওয়া আছে, $\sin α + \cos α = p$ এবং $\sec α + cosec α = q$

বামপক্ষ $= q (p^{2} - 1)$

$= (\sec α + cosec α) {(\sin α + \cos α)^{2} - 1}$

$= (\frac{1}{\cos α} + \frac{1}{\sin α}) (\sin^{2} α + \cos^{2} α + 2 \sin α \cos α - 1)$

$= (\frac{\sin α + \cos α}{\sin α \cos α}) (1 + 2 \sin α \cos α - 1)$

$= \frac{\sin α + \cos α}{\sin α \cos α} \times 2 \sin α \cos α$

$= 2 (\sin α + \cos α)$

$= 2 p =$ ডানপক্ষ

$∴ q (p^{2} - 1) = 2 p .$ (প্রমাণিত)

উত্তর:

দেওয়া আছে, $a \cos θ - b \sin θ = c$

বা, $1 \cdot \cos θ - 1 \cdot \sin θ = 1 [∵ a = b = c = 1]$

বা, $\cos θ - \sin θ = 1$

বা, $\cos θ = 1 + \sin θ$

বা, $(\cos θ)^{2} = (1 + \sin θ)^{2}$ [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

বা, $\cos^{2} θ = 1 + 2 \sin θ + \sin^{2} θ$

বা, $1 - \sin^{2} θ = 1 + 2 \sin θ + \sin^{2} θ$

বা, $1 - \sin^{2} θ - 1 - 2 \sin θ - \sin^{2} θ = 0$

বা, $- 2 \sin^{2} θ - 2 \sin θ = 0$

বা, $\sin^{2} θ + \sin θ = 0$

বা, $\sin θ (\sin θ + 1) = 0$

সুতরাং, $\sin θ = 0$

$\sin θ = \sin 0 = \sin 2 π$

$∴ θ = 0, 2 π$

অথবা, $\sin θ + 1 = 0$

বা, $\sin θ = - 1$

বা, $\sin θ = \sin \frac{3 π}{2}$

$∴ θ = \frac{3 π}{2}$

∴ নির্ণেয় $θ = 0, \frac{3 π}{2}, 2 π$ (Ans.)

💡 সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর