সৃজনশীলঃ ‘P=cot⁡A+cosecA−1cot⁡A−cosecA+1এবং R=tan⁡α+sec⁡α…’ ময়মনসিংহ বোর্ড ২০২৪ – ত্রিকোণমিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

দেওয়া আছে,

$p=\frac{\cot A+\mathrm{cosec}A-1}{\cot A-\mathrm{cosec}A+1}$

$=\frac{\cot A+\mathrm{cosec}A-({\mathrm{cosec}}^{2}A-{\cot }^{2}A)}{\cot A-\mathrm{cosec}A+1}$   $[\because {\mathrm{cosec}}^{2}A-{\cot }^{2}A=1]$

$=\frac{\cot A+\mathrm{cosec}A-(\mathrm{cosec}A+\cot A)(\mathrm{cosec}A-\cot A)}{\cot A-\mathrm{cosec}A+1}$

$=\frac{(\cot A+\mathrm{cosec}A)(1-\mathrm{cosec}A+\cot A)}{1-\mathrm{cosec}A+\cot A}$

$=\cot A+\mathrm{cosec}A$

$=\frac{\cos A}{\sin A}+\frac{1}{\sin A}[\because \cot A=\frac{\cos A}{\sin A}$ এবং $\mathrm{cosec}A=\frac{1}{\sin A}]$

$=\frac{\cos A+1}{\sin A}=\sqrt{{\left(\frac{\cos A+1}{\sin A}\right)}^2}$

$=\sqrt{\frac{(\cos A+1{)}^2}{{\sin }^{2}A}}$

$=\sqrt{\frac{(1+\cos A{)}^2}{1-{\cos }^{2}A}}[\because {\sin }^{2}A=1-{\cos }^{2}A]$

$=\sqrt{\frac{(1+\cos A)(1+\cos A)}{(1+\cos A)(1-\cos A)}}=\sqrt{\frac{1+\cos A}{1-\cos A}}$

$=\sqrt{\frac{1+\frac{1}{\sec A}}{1-\frac{1}{\sec A}}}[\because \cos A=\frac{1}{\sec A}]$

$=\sqrt{\frac{\frac{\sec A+1}{\sec A}}{\frac{\sec A-1}{\sec A}}}=\sqrt{\frac{\sec A+1}{\sec A}\times \frac{\sec A}{\sec A-1}}=\sqrt{\frac{\sec A+1}{\sec A-1}}$

$\therefore p=\sqrt{\frac{\sec A+1}{\sec A-1}}$. (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $R=\tan \alpha +\sec \alpha$

$R=\sqrt{3}$ হলে, $\tan \alpha +\sec \alpha =\sqrt{3}$

বা, $\tan {\alpha }_t-\sqrt{3}=-\sec \alpha$

বা, $(\tan \alpha -\sqrt{3}{)}^2=(-\sec \alpha {)}^2$[বর্গ করে]

বা, ${\tan }^2\alpha -2\sqrt{3}\tan \alpha +3={\sec }^2\alpha$

বা, ${\tan }^2\alpha -2\sqrt{3}\tan \alpha +3=1+{\tan }^2\alpha [\because {\sec }^2\alpha =1+{\tan }^2\alpha ]$

বা, ${\tan }^2\alpha -2\sqrt{3}\tan \alpha +3-1-{\tan }^2\alpha =0$

বা, $-2\sqrt{3}\tan \alpha +2=0$

বা, $-2\sqrt{3}\tan \alpha =-2$

বা, $\tan \alpha =\frac{-2}{-2\sqrt{3}}\therefore \tan \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}$

যেহেতু, $0<\alpha <2\pi$ এবং $\tan \alpha$ ধনাত্মক। সেহেতু $\alpha$ এর অবস্থান প্রথম ও তৃতীয় চুতর্ভাগে ।

$\therefore$ ১ম চতুর্ভাগে, $\tan \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}=\tan \frac{\pi }{6}\therefore \alpha =\frac{\pi }{6}$

৩য় চতুর্ভাগে, $\tan \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}=\tan (\pi +\frac{\pi }{6})=\tan \frac{7\pi }{6}$

$\therefore \alpha =\frac{7\pi }{6}$

কিন্তু $\alpha =\frac{7\pi }{6}$ দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ হয় না। তাই এই মানটি গ্রহণযোগ্য নয়।

নির্ণেয় মান : $\alpha =\frac{\pi }{6}$