সৃজনশীলঃ ‘A=xcos⁡θ,B=ysin⁡θ…’ যশোর বোর্ড ২০২৪ – ত্রিকোণমিতি, উচ্চতর গণিত (এসএসসি)

লক্ষ কর : প্রদত্ত তথ্য অনুযায়ী প্রশ্নটি অসঙ্গতিপূর্ণ।

এখানে, $x\sin \theta -y\sin \theta =\pm \sqrt{x^2+y^2-z^2}$ এর পরিবর্তে $x\theta \sin \theta -y\cos \theta =\pm \sqrt{x^2+y^2-2}$ ধরে সমাধানে প্রমাণ করা হলো।

দেওয়া আছে, $A=x\cos \theta$ এবং $B=y\sin \theta$

এখন, $A+B=z$

বা, $x\cos \theta +y\sin \theta =z$

বা, $(x\cos \theta +y\sin \theta {)}^2=z^2$ [বর্গ করে]

বা, $(x\cos \theta {)}^2+2\cdot x\cos \theta \cdot y\sin \theta +(y\sin \theta {)}^2=z^2$

বা, $x^2{\cos }^2\theta +2xy\cos \theta \sin \theta +y^2{\sin }^2\theta =z^2$

বা, $x^2(1-{\sin }^2\theta )+2xy\cos \theta \sin \theta +y^2(1-{\cos }^2\theta )=z^2$

বা, $x^2-x^2{\sin }^2\theta +2xy\cos \theta \sin \theta +y^2-y^2{\cos }^2\theta =z^2$

বা, $x^2{\sin }^2\theta -2xy\cos \theta \sin \theta +y^2{\cos }^2\theta =x^2+y^2-z^2$

বা, $(x\sin \theta {)}^2-2\cdot x\sin \theta \cdot y\cos \theta +(y\cos \theta {)}^2=x^2+y^2-z^2$

বা, $(x\sin \theta -y\cos \theta {)}^2=x^2+y^2-z^2$

$\therefore x\sin \theta -y\cos \theta =\pm \sqrt{x^2+y^2-z^2}$. (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $A=x\cos \theta$ এবং $B=y\sin \theta$

$x^2=3;y^2=7$

এবং $A^2+B^2=4$ হলে, $(x\cos \theta {)}^2+(y\sin \theta {)}^2=4$

বা, $x^2{\cos }^2\theta +y^{-2}{\sin }^2\theta =4$ '

বা, $3{\cos }^2\theta +7{\sin }^2\theta =4[\because x^2=3,y^2=7]$

বা, $3(1-{\sin }^2\theta )+7{\sin }^2\theta =4$

বা, $3-3{\sin }^2\theta +7{\sin }^2\theta =4$

বা, $4{\sin }^2\theta =4-3=1$

বা, ${\sin }^2\theta =\frac{1}{4}$

$\therefore \sin \theta =\pm \frac{1}{2}$

১ম চতুর্ভাগে, $\sin \theta =\frac{1}{2}=\sin \frac{\pi }{6}\therefore \theta =\frac{\pi }{6}$

২য় চতুর্ভাগে, $\sin \theta =\frac{1}{2}=\sin (\pi -\frac{\pi }{6})=\sin \frac{5\pi }{6}\therefore \theta =\frac{5\pi }{6}$

৩য় চতুর্ভাগে, $\sin \theta =-\frac{1}{2}=\sin (\pi +\frac{\pi }{6})=\sin \frac{7\pi }{6}\therefore \theta =\frac{7\pi }{6}$

৪র্থ চতুর্ভাগে, $\sin \theta =-\frac{1}{2}=\sin (2\pi -\frac{\pi }{6})=\sin \frac{11\pi }{6},\therefore \theta =\frac{11\pi }{6}$

নির্ণেয় মান $\because \frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6},\frac{11\pi }{6}$